Упр.569 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Пусть $$a, b, c$$ — стороны треугольника, $$P$$ — периметр треугольника, $$r$$ — радиус вписанной окружности, $$S$$ — площадь треугольника. Найдите:
   а) $$r$$, если $$P=56$$, $$S=84$$;
   б) $$S$$, если $$P=144$$, $$r=3{,}5$$;
   в) $$a$$, если $$b=15$$, $$c=20$$, $$r=2$$, $$S=42$$.
2. Докажите, что отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, параллелен её основаниям и равен полуразности оснований.

Пусть $$ABCD$$ — трапеция, $$AD \parallel BC$$, точки $$M$$ и $$N$$ — середины диагоналей $$AC$$ и $$BD$$.

Проведём через точку $$M$$ прямую $$MF$$, параллельную основаниям трапеции: $$MF \parallel AD$$.

Так как $$M$$ — середина диагонали $$AC$$ и $$MF \parallel AD$$, то по теореме Фалеса точка $$F$$ делит сторону $$CD$$ пополам, то есть $$CF = FD$$. Значит, $$MF$$ — средняя линия треугольника $$ACD$$, поэтому

$$MF=\frac12 AD.$$

Теперь рассмотрим диагональ $$BD$$. Прямая $$MF$$ пересекает её в точке $$N$$. Поскольку $$CF = FD$$ и $$BN = ND$$, то $$N$$ — середина стороны $$BD$$, следовательно, $$NF$$ — средняя линия треугольника $$BCD$$. Тогда

$$NF=\frac12 BC.$$

Точки $$M$$, $$N$$, $$F$$ лежат на одной прямой, поэтому

$$MN=MF-NF.$$

Подставим найденные выражения:

$$MN=\frac12 AD-\frac12 BC=\frac12(AD-BC).$$

Следовательно, $$MN \parallel AD$$ и

$$MN=\frac12(AD-BC).$$