Упр.568 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Площадь прямоугольного треугольника равна 168 см2. Найдите его катеты, если отношение их длин равно 7/12. Докажите, что четырёхугольник — ромб, если его вершинами являются середины сторон: а) прямоугольника; б) равнобедренной трапеции.

1) Пусть катеты прямоугольного треугольника равны $$7x$$ и $$12x$$. Тогда по формуле площади:

$$S=\frac{1}{2}\cdot 7x \cdot 12x=42x^2.$$

По условию $$42x^2=168$$, значит

$$x^2=4,\qquad x=2.$$

Следовательно, катеты равны:

$$7x=14\text{ см},\qquad 12x=24\text{ см}.$$

2) Докажем, что четырёхугольник, вершинами которого являются середины сторон прямоугольника, — ромб.

Пусть $$M, N, K, E$$ — середины сторон прямоугольника $$ABCD$$.

Тогда в треугольнике $$ABD$$ отрезок $$ME$$ соединяет середины сторон $$AB$$ и $$AD$$, значит $$ME$$ — средняя линия, поэтому

$$ME \parallel BD,\qquad ME=\frac{1}{2}BD.$$

Аналогично в треугольнике $$BCD$$ отрезок $$NK$$ — средняя линия, значит

$$NK \parallel BD,\qquad NK=\frac{1}{2}BD.$$

Следовательно, $$ME \parallel NK$$ и $$ME=NK$$.

В треугольнике $$ABC$$ отрезок $$MN$$ — средняя линия, поэтому

$$MN \parallel AC,\qquad MN=\frac{1}{2}AC.$$

В треугольнике $$ADC$$ отрезок $$KE$$ — средняя линия, значит

$$KE \parallel AC,\qquad KE=\frac{1}{2}AC.$$

Следовательно, $$MN \parallel KE$$ и $$MN=KE$$.

Так как $$ABCD$$ — прямоугольник, то его диагонали равны: $$AC=BD$$. Тогда

$$ME=NK=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}AC=MN=KE.$$

Итак, в четырёхугольнике $$MNKE$$ все стороны равны, значит $$MNKE$$ — ромб.

3) Докажем аналогично для равнобедренной трапеции.

Пусть $$ABCD$$ — равнобедренная трапеция, а $$M, N, K, E$$ — середины её сторон. Тогда, как и выше,

$$ME \parallel BD,\quad NK \parallel BD,\quad MN \parallel AC,\quad KE \parallel AC,$$

а также

$$ME=NK=\frac{1}{2}BD,\qquad MN=KE=\frac{1}{2}AC.$$

В равнобедренной трапеции диагонали равны, то есть $$AC=BD$$. Значит,

$$ME=NK=MN=KE.$$

Следовательно, $$MNKE$$ — ромб.

Ответ

$$AC=14\text{ см},\quad BC=24\text{ см}.$$ Четырёхугольник, вершинами которого являются середины сторон прямоугольника и равнобедренной трапеции, — ромб.