Упр.568 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Площадь прямоугольного треугольника равна $$168\ см^2$$. Найдите его катеты, если отношение их длин равно $$\frac{7}{12}$$.
2. Докажите, что четырёхугольник — ромб, если его вершинами являются середины сторон: а) прямоугольника; б) равнобедренной трапеции.

Обозначим катеты прямоугольного треугольника через $$7x$$ и $$12x$$, так как их отношение равно $$\frac{7}{12}$$.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов:

$$S=\frac{1}{2}\cdot 7x \cdot 12x=42x^2.$$

По условию $$S=168$$, значит

$$42x^2=168,$$
$$x^2=4,$$
$$x=2.$$

Тогда катеты равны:

$$7x=7\cdot 2=14\text{ см},$$
$$12x=12\cdot 2=24\text{ см}.$$

Ответ: $$14\text{ см}$$ и $$24\text{ см}$$.