Упр.567 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его катеты равны: а) $$4\ \text{см}$$ и $$11\ \text{см}$$; б) $$1{,}2\ \text{дм}$$ и $$3\ \text{дм}$$.
- Докажите, что середины сторон произвольного четырёхугольника являются вершинами параллелограмма.
Рассмотрим четырёхугольник $$ABCD$$ и точки $$M, N, K, E$$ — середины его сторон $$AB, BC, CD, AD$$ соответственно.
Тогда в треугольнике $$ABC$$ отрезок $$MN$$ соединяет середины сторон $$AB$$ и $$BC$$, значит, $$MN$$ — средняя линия треугольника. Поэтому
$$MN \parallel AC,\qquad MN=\frac12 AC.$$
Аналогично, в треугольнике $$ADC$$ отрезок $$KE$$ соединяет середины сторон $$CD$$ и $$AD$$, значит, $$KE$$ — средняя линия треугольника. Следовательно,
$$KE \parallel AC,\qquad KE=\frac12 AC.$$
Из равенств $$MN \parallel AC$$ и $$KE \parallel AC$$ получаем, что $$MN \parallel KE$$. Кроме того,
$$MN=KE.$$
Если в четырёхугольнике одна пара противоположных сторон параллельна и равна, то этот четырёхугольник — параллелограмм. Значит, $$MNKE$$ — параллелограмм.
Ответ: середины сторон произвольного четырёхугольника являются вершинами параллелограмма.
