Упр.566 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Две стороны треугольника равны 7,5 см и 3,2 см. Высота, проведённая к большей стороне, равна 2,4 см. Найдите высоту, проведённую к меньшей из данных сторон. Точки Р и Q — середины сторон АВ и АС треугольника ABC. Найдите периметр треугольника ABC, если периметр треугольника APQ равен 21 см.

1) Найдём площадь треугольника $$ABC$$ по большей стороне и высоте, проведённой к ней:

$$S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot 7{,}5 \cdot 2{,}4=9\ \text{см}^2.$$

2) Обозначим искомую высоту, проведённую к стороне $$3{,}2$$ см, через $$h$$. Тогда

$$S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot 3{,}2 \cdot h.$$

Так как площадь та же, получаем:

$$\frac{1}{2}\cdot 3{,}2 \cdot h=9,$$

$$h=\frac{9\cdot 2}{3{,}2}=5{,}625\ \text{см}.$$

3) Пусть $$P$$ и $$Q$$ — середины сторон $$AB$$ и $$AC$$. Тогда

$$AP=PB,\qquad AQ=QC.$$

Следовательно,

$$AB=2AP,\qquad AC=2AQ.$$

Отрезок $$PQ$$ соединяет середины двух сторон треугольника, значит, $$PQ$$ — средняя линия треугольника $$ABC$$. Поэтому

$$PQ=\frac{1}{2}BC.$$

Треугольники $$APQ$$ и $$ABC$$ подобны, причём коэффициент подобия равен $$2$$. Значит, периметры относятся так же:

$$P_{ABC}=2P_{APQ}.$$

Тогда

$$P_{ABC}=2\cdot 21=42\ \text{см}.$$

Ответ

$$5{,}625\ \text{см};\ 42\ \text{см}.$$