Упр.563 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Квадрат и ромб, не являющийся квадратом, имеют одинаковые периметры. Сравните площади этих фигур.
Через точку $$M$$, взятую на медиане $$AD$$ треугольника $$ABC$$, и вершину $$B$$ проведена прямая, пересекающая сторону $$AC$$ в точке $$K$$. Найдите отношение $$\frac{AK}{KC}$$, если:
а) $$M$$ — середина отрезка $$AD$$;
б) $$\frac{AM}{MD}=\frac{1}{2}$$.

Подробный ответ

Обозначим через $$a$$ сторону квадрата и через $$b$$ сторону ромба. Тогда при равных периметрах имеем

$$4a=4b,$$

значит, $$a=b$$.

Площадь квадрата равна

$$S_{\text{кв}}=a^2.$$

Площадь ромба можно выразить через сторону и высоту:

$$S_{\text{ром}}=b\cdot h,$$

где $$h<b$$, так как ромб не является квадратом, то есть его высота меньше стороны.

Так как $$a=b$$, получаем

$$S_{\text{ром}}=b\cdot h<b\cdot b=b^2=a^2=S_{\text{кв}}.$$

Следовательно, площадь квадрата больше площади ромба.