Упр.562 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Диагональ параллелограмма равна его стороне. Найдите площадь параллелограмма, если большая его сторона равна $$15{,}2\ \text{см}$$, а один из его углов $$45^\circ$$.
2. В треугольнике $$ABC$$ сторона $$AB$$ равна $$a$$, а высота $$CH$$ равна $$h$$. Найдите сторону квадрата, вписанного в треугольник $$ABC$$ так, что две соседние вершины квадрата лежат на стороне $$AB$$, а две другие — соответственно на сторонах $$AC$$ и $$BC$$.

Обозначим сторону квадрата через $$x$$. Тогда его верхняя сторона параллельна основанию $$AB$$, а значит, получаются подобные треугольники с общей вершиной $$C$$.

Пусть высота треугольника $$ABC$$ равна $$h$$, а сторона основания $$AB=a$$. Тогда для большого треугольника и малого треугольника над квадратом имеем:

$$\frac{a}{x}=\frac{h}{h-x}$$

Отсюда

$$a(h-x)=hx$$

$$ah-ax=hx$$

$$ah=(a+h)x$$

$$x=\frac{ah}{a+h}$$

Следовательно, сторона квадрата равна

$$MN=\frac{ah}{a+h}$$

Ответ: $$\frac{ah}{a+h}$$.