Упр.561 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Острый угол параллелограмма равен 30°, а высоты, проведённые из вершины тупого угла, равны 2 см и 3 см. Найдите площадь параллелограмма. Докажите, что два равносторонних треугольника подобны.

1) Рассмотрим параллелограмм $$ABCD$$. Из вершины тупого угла $$B$$ опущены высоты $$BE$$ и $$BH$$ на стороны $$AD$$ и $$CD$$ соответственно, причём $$BE=2$$ см, $$BH=3$$ см, а острый угол параллелограмма равен $$30^\circ$$.

Так как $$AB \parallel CD$$, то угол между прямой $$AB$$ и высотой $$BE$$ равен $$90^\circ$$. В прямоугольном треугольнике с углом $$30^\circ$$ катет, лежащий против угла $$30^\circ$$, равен половине гипотенузы. Поэтому

$$BE=\frac12 AB.$$

Отсюда

$$AB=2BE=2\cdot 2=4\text{ см}.$$

В параллелограмме противоположные стороны равны, значит

$$CD=AB=4\text{ см}.$$

Площадь параллелограмма равна произведению стороны на соответствующую высоту:

$$S_{ABCD}=CD\cdot BH=4\cdot 3=12\text{ см}^2.$$

2) Пусть $$\triangle ABC$$ и $$\triangle A_1B_1C_1$$ — равносторонние треугольники. Тогда в каждом из них все углы равны $$60^\circ$$:

$$\angle A=\angle B=\angle C=60^\circ,$$

$$\angle A_1=\angle B_1=\angle C_1=60^\circ.$$

Следовательно,

$$\angle A=\angle A_1,\qquad \angle B=\angle B_1.$$

Значит, $$\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$$ по двум углам.

Ответ

$$12\text{ см}^2$$; равносторонние треугольники подобны, так как их соответствующие углы равны $$60^\circ$$.