Упр.560 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Пусть $$a$$ и $$b$$ — смежные стороны параллелограмма, $$S$$ — площадь, а $$h_1$$ и $$h_2$$ — его высоты. Найдите:
а) $$h_2$$, если $$a=18\text{ см}$$, $$b=30\text{ см}$$, $$h_1=6\text{ см}$$, $$h_2>h_1$$;
б) $$h_1$$, если $$a=10\text{ см}$$, $$b=15\text{ см}$$, $$h_2=6\text{ см}$$, $$h_2>h_1$$;
в) $$h_1$$ и $$h_2$$, если $$S=54\text{ см}^2$$, $$a=4{,}5\text{ см}$$, $$b=6\text{ см}$$.
Подобны ли треугольники $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$, если:
а) $$AB=3\text{ см}$$, $$BC=5\text{ см}$$, $$CA=7\text{ см}$$, $$A_1B_1=4{,}5\text{ см}$$, $$B_1C_1=7{,}5\text{ см}$$, $$C_1A_1=10{,}5\text{ см}$$;
б) $$AB=1{,}7\text{ см}$$, $$BC=3\text{ см}$$, $$CA=4{,}2\text{ см}$$, $$A_1B_1=34\text{ дм}$$, $$B_1C_1=60\text{ дм}$$, $$C_1A_1=84\text{ дм}$$?

Подробный ответ

Пусть $$S$$ — площадь параллелограмма, $$a$$ и $$b$$ — его смежные стороны, $$h_1$$ и $$h_2$$ — соответствующие высоты. Тогда

$$S=a\cdot h_1=b\cdot h_2.$$

1)

а) $$18\cdot h_1=30\cdot h_2.$$

Так как $$h_2>h_1$$, то большей стороне $$b=30$$ см соответствует меньшая высота $$h_2$$, а стороне $$a=18$$ см — высота $$h_1=6$$ см. Тогда

$$S=18\cdot 6=108,$$

$$h_2=\frac{S}{30}=\frac{108}{30}=3{,}6\text{ см}.$$

б) $$S=10\cdot h_1=15\cdot 6.$$

$$S=90,$$

$$h_1=\frac{90}{10}=9\text{ см}.$$

в) $$S=54\text{ см}^2.$$

Тогда

$$h_1=\frac{54}{4{,}5}=12\text{ см},$$

$$h_2=\frac{54}{6}=9\text{ см}.$$

2)

Проверим отношение соответствующих сторон треугольников.

а)

$$\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{3}{4{,}5}=\frac{2}{3},\qquad \frac{BC}{B_1C_1}=\frac{5}{7{,}5}=\frac{2}{3},\qquad \frac{CA}{C_1A_1}=\frac{7}{10{,}5}=\frac{2}{3}.$$

Все три отношения равны, значит, $$\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$$ по трём сторонам.

б)

Переведём длины в одинаковые единицы: $$34\text{ дм}=340\text{ см},\ 60\text{ дм}=600\text{ см},\ 84\text{ дм}=840\text{ см}.$$ Тогда

$$\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{1{,}7}{340}=\frac{1}{200},\qquad \frac{BC}{B_1C_1}=\frac{3}{600}=\frac{1}{200},\qquad \frac{CA}{C_1A_1}=\frac{4{,}2}{840}=\frac{1}{200}.$$

Следовательно, $$\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$$ по трём сторонам.

Ответ: 1) а) $$h_2=3{,}6\text{ см}$$; б) $$h_1=9\text{ см}$$; в) $$h_1=12\text{ см},\ h_2=9\text{ см}$$. 2) а) да; б) да.