Упр.558 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Сторона ромба равна $$6\ \text{см}$$, а один из углов равен $$150^\circ$$. Найдите площадь ромба.
2. Прямые $$a$$ и $$b$$ пересечены параллельными прямыми $$AA_1$$, $$BB_1$$, $$CC_1$$, причём точки $$A$$, $$B$$ и $$C$$ лежат на прямой $$a$$, а точки $$A_1$$, $$B_1$$ и $$C_1$$ — на прямой $$b$$. Докажите, что $$\frac{AB}{BC}=\frac{A_1B_1}{B_1C_1}$$.

Проведём высоту $$AH$$ к стороне $$CD$$, где $$H \in CD$$ и $$AH \perp CD$$.

Так как $$ABCD$$ — ромб, то все его стороны равны:

$$AB=BC=CD=AD=6\text{ см}.$$

Смежные углы ромба в сумме дают $$180^\circ$$, значит

$$\angle B=180^\circ-150^\circ=30^\circ.$$

Противоположные углы ромба равны, поэтому

$$\angle D=\angle B=30^\circ.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$AHD$$. В нём гипотенуза $$AD=6\text{ см}$$, а угол $$\angle ADH=30^\circ$$. Тогда катет, лежащий против угла $$30^\circ$$, равен половине гипотенузы:

$$AH=\frac{1}{2}AD=3\text{ см}.$$

Теперь найдём площадь ромба:

$$S_{ABCD}=CD\cdot AH=6\cdot 3=18\text{ см}^2.$$

Ответ: $$18\text{ см}^2$$.