Упр.556 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Диагональ параллелограмма, равная 13 см, перпендикулярна к стороне параллелограмма, равной 12 см. Найдите площадь параллелограмма. Стороны угла О пересечены параллельными прямыми АВ и CD. Докажите, что отрезки ОА и АС пропорциональны отрезкам ОВ и BD (рис. 194).

Площадь параллелограмма равна произведению стороны на проведённую к ней высоту. Так как диагональ $$BD$$ перпендикулярна стороне $$BC$$, то $$BD$$ является высотой к стороне $$BC$$.

Тогда

$$S_{ABCD}=BD\cdot BC=13\cdot 12=156\ \text{см}^2.$$

Докажем, что $$\dfrac{OA}{OB}=\dfrac{AC}{BD}$$.

Проведём через точку $$A$$ прямую $$AC_1$$ так, что $$AC_1 \parallel BD$$, и пусть $$AC_1 \cap CD=C_1$$.

Рассмотрим треугольники $$\triangle OAB$$ и $$\triangle ACC_1$$. У них

$$\angle OAB=\angle ACC_1$$ и $$\angle OBA=\angle AC_1C$$ как соответственные при параллельных прямых $$AB \parallel CD$$ и $$AC_1 \parallel BD$$.

Следовательно, $$\triangle OAB \sim \triangle ACC_1$$, откуда

$$\frac{OA}{AC}=\frac{OB}{AC_1}.$$

Четырёхугольник $$AC_1DB$$ — параллелограмм, поэтому

$$AC_1=BD.$$

Тогда

$$\frac{OA}{AC}=\frac{OB}{BD},$$

откуда

$$OA\cdot BD=OB\cdot AC$$

и, следовательно,

$$\frac{OA}{OB}=\frac{AC}{BD}.$$

Ответ

$$S_{ABCD}=156\ \text{см}^2,\qquad \frac{OA}{OB}=\frac{AC}{BD}.$$