Упр.555 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Пусть $$a$$ — основание, $$h$$ — высота, а $$S$$ — площадь параллелограмма. Найдите: а) $$S$$, если $$a=15\text{ см}$$, $$h=12\text{ см}$$; б) $$a$$, если $$S=34\text{ см}^2$$, $$h=8{,}5\text{ см}$$; в) $$a$$, если $$S=162\text{ см}^2$$, $$h=\frac{1}{2}a$$; г) $$h$$, если $$h=3a$$, $$S=27$$.
Точки $$M$$, $$N$$ и $$P$$ лежат соответственно на сторонах $$AB$$, $$BC$$ и $$CA$$ треугольника $$ABC$$, причём $$MN\parallel AC$$, $$NP\parallel AB$$. Найдите стороны четырёхугольника $$AMNP$$, если: а) $$AB=10\text{ см}$$, $$AC=15\text{ см}$$, $$PN:MN=2:3$$; б) $$AM=AP$$, $$AB=a$$, $$AC=b$$.
а) Так как $$MN \parallel AC$$ и $$NP \parallel AB,$$ то $$AMNP$$ — параллелограмм. Следовательно, $$AM=NP$$ и $$MN=AP.$$
Рассмотрим подобные треугольники $$\triangle ABC$$ и $$\triangle MBN$$: углы при вершине $$B$$ общие, а также $$\angle ABC=\angle MBN$$ и $$\angle ACB=\angle MNB$$ как соответственные при параллельных прямых. Значит,
$$\triangle ABC \sim \triangle MBN.$$
Пусть $$PN=2x,$$ тогда $$MN=3x.$$ Из подобия получаем
$$\frac{AB}{MB}=\frac{AC}{MN}.$$
Так как $$MB=AB-AM=10-2x,$$ а $$MN=3x,$$ то
$$\frac{10}{10-2x}=\frac{15}{3x}.$$
Отсюда
$$30x=150-30x,$$
$$60x=150,$$
$$x=2{,}5.$$
Тогда
$$PN=2x=5\text{ см},$$
$$MN=3x=7{,}5\text{ см}.$$
Значит,
$$AM=NP=5\text{ см}, \quad AP=MN=7{,}5\text{ см}.$$
б) Аналогично, $$AMNP$$ — параллелограмм, а из условия $$AM=AP$$ следует, что это ромб. Пусть $$AM=x.$$ Тогда $$MB=AB-AM=a-x,$$ $$BN=BC-BN?$$ удобнее воспользоваться подобием треугольников $$\triangle ABC$$ и $$\triangle MBN$$:
$$\frac{AB}{MB}=\frac{AC}{MN}.$$
Подставим $$AB=a,$$ $$AC=b,$$ $$MB=a-x,$$ $$MN=x$$:
$$\frac{a}{a-x}=\frac{b}{x}.$$
Тогда
$$ax=b(a-x),$$
$$ax=ab-bx,$$
$$(a+b)x=ab,$$
$$x=\frac{ab}{a+b}.$$
Следовательно,
$$AM=NP=MN=AP=\frac{ab}{a+b}.$$
Ответ: а) $$AM=NP=5\text{ см},\ MN=AP=7{,}5\text{ см};$$ б) $$AM=MN=NP=AP=\frac{ab}{a+b}.$$
