Упр.544 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. На стороне $$AD$$ прямоугольника $$ABCD$$ построен треугольник $$ADE$$ так, что его стороны $$AE$$ и $$DE$$ пересекают отрезок $$BC$$ в точках $$M$$ и $$N$$, причём точка $$M$$ — середина отрезка $$AE$$. Докажите, что $$S_{ABCD}=S_{ADE}$$.
2. Площади двух подобных треугольников равны $$75\ \text{м}^2$$ и $$300\ \text{м}^2$$. Одна из сторон второго треугольника равна $$9\ \text{м}$$. Найдите сходственную ей сторону первого треугольника.

Пусть $$H$$ — основание перпендикуляра, опущенного из точки $$E$$ на прямую $$BC$$. Тогда $$EH \perp BC$$, а так как $$ABCD$$ — прямоугольник, то $$AB \perp BC$$ и $$CD \perp BC$$.

Рассмотрим треугольники $$ABM$$ и $$MEH$$. По условию $$M$$ — середина отрезка $$AE$$, значит $$AM=ME$$. Кроме того, $$\angle BMA=\angle EMH$$ как вертикальные, а $$\angle ABM=\angle EHM=90^\circ$$. Следовательно, $$\triangle ABM \cong \triangle MEH$$, откуда $$AB=EH$$.

Теперь рассмотрим треугольники $$EHN$$ и $$DCN$$. У них $$\angle EHN=\angle CDN=90^\circ$$, а $$\angle ENH=\angle CND$$ как накрест лежащие при параллельных прямых $$EH \parallel CD$$ и секущей $$DE$$. Значит, $$\triangle EHN \cong \triangle DCN$$, поэтому $$EH=CD$$.

Из равенств $$AB=EH$$ и $$EH=CD$$ получаем $$AB=CD$$. Тогда

$$S_{ADE}=S_{AMND}+S_{MEH}+S_{EHN}=S_{AMND}+S_{ABM}+S_{DCN}=S_{ABCD}.$$

Следовательно, $$S_{ABCD}=S_{ADE}$$.