Упр.543 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Начертите параллелограмм $$ABCD$$ и отметьте точку $$M$$, симметричную точке $$D$$ относительно точки $$C$$. Докажите, что $$S_{ABCD}=S_{AMD}$$.
- Докажите, что отношение сходственных сторон подобных треугольников равно отношению высот, проведённых к этим сторонам.
Пусть точка $$O$$ — середина отрезка $$CM$$. Тогда по условию точки $$C$$, $$O$$, $$M$$ лежат на одной прямой и $$CO=OM.$$
Так как $$ABCD$$ — параллелограмм, то $$AB \parallel CD,\quad AB=CD.$$
Поскольку $$M$$ симметрична точке $$D$$ относительно точки $$C$$, точки $$D$$, $$C$$, $$M$$ лежат на одной прямой и $$CD=CM.$$
Следовательно, $$AB=CD=CM,$$ а также $$AB \parallel CD \parallel CM.$$
Рассмотрим треугольники $$ABO$$ и $$MOC$$.
У них:
- $$\angle ABO=\angle MCO$$ — накрест лежащие при параллельных прямых $$AB$$ и $$CM$$ и секущей $$BC$$;
- $$\angle BAO=\angle CMO$$ — накрест лежащие при параллельных прямых $$AB$$ и $$CM$$ и секущей $$AM$$;
- $$AB=CM.$$
Значит, $$\triangle ABO \cong \triangle MOC$$ по двум углам и заключённой между ними стороне. Тогда их площади равны:
$$S_{ABO}=S_{MOC}.$$
Теперь заметим, что четырёхугольник $$ABCD$$ состоит из треугольников $$ABO$$ и $$AOD$$, а четырёхугольник $$AMD$$ — из треугольников $$MOC$$ и $$AOD$$:
$$S_{ABCD}=S_{ABO}+S_{AOD},$$
$$S_{AMD}=S_{MOC}+S_{AOD}.$$
Так как $$S_{ABO}=S_{MOC},$$ то
$$S_{ABCD}=S_{AMD}.$$
Ответ: $$S_{ABCD}=S_{AMD}.$$
