Упр.540 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите, что если фигура имеет две взаимно перпендикулярные оси симметрии, то точка их пересечения является центром симметрии фигуры.
2. Периметр треугольника $$CDE$$ равен $$55\ \text{см}$$. В этот треугольник вписан ромб $$DMFN$$ так, что вершины $$M$$, $$F$$ и $$N$$ лежат соответственно на сторонах $$CD$$, $$CE$$ и $$DE$$. Найдите стороны $$CD$$ и $$DE$$, если $$CF=8\ \text{см}$$, $$EF=12\ \text{см}$$.

Так как у ромба диагональ является биссектрисой угла, то диагональ $$DF$$ делит угол при вершине $$D$$ пополам. Значит,

$$\angle MDF=\angle FDN.$$

Кроме того, точки $$M$$ и $$F$$ лежат соответственно на сторонах $$CD$$ и $$CE$$, поэтому углы $$\angle MDF$$ и $$\angle FDN$$ являются соответственными при параллельных прямых, откуда

$$CD \parallel DE.$$

Тогда треугольники $$CDF$$ и $$DEF$$ подобны, и

$$\frac{CD}{DE}=\frac{CF}{FE}=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}.$$

Следовательно,

$$CD=\frac{2}{3}DE.$$

Найдём сторону $$CE$$:

$$CE=CF+FE=8+12=20\text{ см}.$$

По периметру треугольника $$CDE$$ имеем

$$CD+DE+CE=55,$$

значит,

$$CD+DE=55-20=35.$$

Подставим $$CD=\frac{2}{3}DE$$:

$$\frac{2}{3}DE+DE=35,$$

$$\frac{5}{3}DE=35,$$

$$DE=35\cdot \frac{3}{5}=21\text{ см}.$$

Тогда

$$CD=\frac{2}{3}\cdot 21=14\text{ см}.$$

Ответ: $$CD=14\text{ см},\ DE=21\text{ см}.$$