Упр.536 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: На двух сторонах треугольника вне его построены квадраты. Докажите, что отрезок, соединяющий концы сторон квадратов, выходящих из одной вершины треугольника, в два раза больше медианы треугольника, выходящей из той же вершины. Отрезок BD является биссектрисой треугольника ABC. а) Найдите АВ, если ВС = 9 см, AD= 7,5 см, DC = 4,5 см. б) Найдите DC, если АВ = 30, AD = 20, ВС =16.

Подробный ответ

Обозначим через $$H$$ основание высоты $$BH$$, проведённой из вершины $$B$$ на прямую $$AC$$. Тогда $$BH$$ — общая высота для треугольников $$ABD$$ и $$CBD$$.

Следовательно, их площади выражаются так:

$$S_{ABD}=\frac{1}{2}\cdot AD \cdot BH,\qquad S_{CBD}=\frac{1}{2}\cdot CD \cdot BH.$$

С другой стороны, так как $$BD$$ — биссектриса угла $$B$$, то $$\angle ABD=\angle DBC$$. Значит, у треугольников $$ABD$$ и $$CBD$$ одинаковая высота, опущенная из вершины $$B$$ на прямую $$AC$$, и отношение их площадей равно отношению соответствующих оснований:

$$\frac{S_{ABD}}{S_{CBD}}=\frac{AB}{BC}.$$

Но также

$$\frac{S_{ABD}}{S_{CBD}}=\frac{AD}{CD}.$$

Отсюда

$$\frac{AB}{BC}=\frac{AD}{CD},\qquad AB\cdot CD=BC\cdot AD.$$

а) Найдём $$AB$$:

$$AB=\frac{BC\cdot AD}{CD}=\frac{9\cdot 7{,}5}{4{,}5}=15\text{ см}.$$

б) Найдём $$DC$$:

$$DC=\frac{BC\cdot AD}{AB}=\frac{16\cdot 20}{30}=\frac{32}{3}=10\frac{2}{3}\text{ см}.$$