Упр.535 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Сумма углов при одном из оснований трапеции равна 90°. Докажите, что отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, равен их полуразности.
2. Докажите, что биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.

Пусть в треугольнике $$ABC$$ биссектриса $$AD$$ делит сторону $$BC$$ в точке $$D$$, причём $$\angle 1=\angle 2$$.

Проведём высоту $$AH$$ к прямой $$BC$$. Тогда $$AH$$ — общая высота для треугольников $$ABD$$ и $$ACD$$, поэтому

$$S_{ABD}=\frac{BD\cdot AH}{2}, \qquad S_{ACD}=\frac{CD\cdot AH}{2}.$$

С другой стороны, так как $$\angle 1=\angle 2$$, то треугольники $$ABD$$ и $$ACD$$ имеют равные углы при вершине $$A$$, а значит, их площади можно выразить через стороны, прилежащие к этим углам:

$$S_{ABD}=\frac{AB\cdot AD\cdot \sin \angle 1}{2}, \qquad S_{ACD}=\frac{AC\cdot AD\cdot \sin \angle 2}{2}.$$

Так как $$\angle 1=\angle 2$$, то $$\sin \angle 1=\sin \angle 2$$, следовательно,

$$\frac{S_{ABD}}{S_{ACD}}=\frac{AB}{AC}.$$

Но из выражений площадей через основание $$BC$$ получаем

$$\frac{S_{ABD}}{S_{ACD}}=\frac{BD}{CD}.$$

Значит,

$$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}.$$

Перемножая крест-накрест, получаем

$$AC\cdot BD=AB\cdot CD,$$

откуда

$$\frac{BD}{AB}=\frac{CD}{AC}.$$

Что и требовалось доказать.