Упр.534 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Задание учебника 2025 года. В трапеции $$ABCD$$ с большим основанием $$AD$$ диагональ $$AC$$ перпендикулярна к боковой стороне $$CD$$, $$\angle BAC = \angle CAD$$. Найдите $$AD$$, если периметр трапеции равен 20 см, а $$\angle D = 60^\circ$$.
Задание учебника 2023 года. Пропорциональны ли изображённые на рисунке 189 отрезки: а) $$AC$$, $$CD$$ и $$M_1M_2$$, $$MM_1$$; б) $$AB$$, $$BC$$, $$CD$$ и $$MM_2$$, $$MM_1$$, $$M_1M_2$$; в) $$AB$$, $$BD$$ и $$MM_1$$, $$M_1M_2$$?
Рассмотрим треугольник $$ACD$$. Так как $$AC \perp CD$$ и $$\angle D=60^\circ$$, то
$$\angle CAD=90^\circ-60^\circ=30^\circ.$$
По условию $$\angle BAC=\angle CAD$$, значит
$$\angle BAC=30^\circ.$$
Тогда угол трапеции при вершине $$A$$ равен
$$\angle A=\angle BAC+\angle CAD=30^\circ+30^\circ=60^\circ.$$
Поскольку $$\angle A=\angle D=60^\circ$$, трапеция $$ABCD$$ равнобедренная, следовательно, $$AB=CD$$.
Так как $$BC \parallel AD$$, а $$AC$$ — секущая, то
$$\angle BCA=\angle CAD=30^\circ.$$
В треугольнике $$ABC$$ получаем
$$\angle BAC=\angle BCA=30^\circ,$$
значит, $$\triangle ABC$$ равнобедренный и
$$AB=BC.$$
Итак,
$$AB=BC=CD.$$
Из прямоугольного треугольника $$ACD$$:
$$CD=\frac{1}{2}AD.$$
Периметр трапеции равен
$$P_{ABCD}=AB+BC+CD+AD=20.$$
Подставим $$AB=BC=CD$$ и $$CD=\frac{1}{2}AD$$:
$$P_{ABCD}=3\cdot \frac{1}{2}AD+AD=20$$
$$\frac{5}{2}AD=20$$
$$AD=8.$$
Ответ: $$8\text{ см}$$.
