Упр.534 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: В трапеции ABCD с большим основанием AD диагональ АС перпендикулярна к боковой стороне CD, угол BAC = угол СAD. Найдите AD, если периметр трапеции равен 20 см, a угол D = 60°. Пропорциональны ли изображённые на рисунке 189 отрезки: а) AC, CD и М1М2, ММ1; б) АВ, ВС, CD и ММ2, ММ1, М1М2; в) АВ, BD и ММ1, M1M2?

1) Так как $$AC \perp CD$$ и $$\angle D=60^\circ$$, то в треугольнике $$ACD$$

$$\angle CAD=90^\circ-60^\circ=30^\circ.$$

По условию $$\angle BAC=\angle CAD$$, значит

$$\angle BAC=30^\circ.$$

Тогда угол при вершине $$A$$ трапеции равен

$$\angle A=\angle BAC+\angle CAD=30^\circ+30^\circ=60^\circ.$$

Поскольку $$\angle A=\angle D=60^\circ,$$ трапеция $$ABCD$$ равнобедренная, следовательно,

$$AB=CD.$$

2) Так как $$BC \parallel AD,$$ а $$AC$$ — секущая, то

$$\angle BCA=\angle CAD=30^\circ.$$

В треугольнике $$ABC$$ имеем

$$\angle BAC=\angle BCA=30^\circ,$$

значит, $$\triangle ABC$$ равнобедренный и

$$AB=BC.$$

3) Обозначим $$AB=BC=CD=x.$$ Тогда из периметра трапеции получаем

$$P_{ABCD}=AB+BC+CD+AD=20,$$

то есть

$$3x+AD=20.$$

Но $$CD=\frac12 AD,$$ значит $$x=\frac12 AD.$$ Подставим:

$$3\cdot \frac12 AD+AD=20,$$

$$\frac52 AD=20,$$

$$AD=8.$$

4) Проверим пропорциональность отрезков на рисунке 189.

а) $$AC,\,CD \text{ и } M_1M_2,\,MM_1$$:

$$\frac{AC}{M_1M_2}=\frac{9}{2}=4{,}5,\qquad \frac{CD}{MM_1}=\frac{9}{1}=9.$$

Отрезки не пропорциональны.

б) $$AB,\,BC,\,CD \text{ и } MM_2,\,MM_1,\,M_1M_2$$:

$$\frac{AB}{MM_2}=\frac{6}{3}=2,\qquad \frac{BC}{MM_1}=\frac{3}{1}=3,\qquad \frac{CD}{M_1M_2}=\frac{9}{2}=4{,}5.$$

Отрезки не пропорциональны.

в) $$AB,\,BD \text{ и } MM_1,\,M_1M_2$$:

$$\frac{AB}{MM_1}=\frac{6}{1}=6,\qquad \frac{BD}{M_1M_2}=\frac{12}{2}=6.$$

Отрезки пропорциональны.

Ответ

$$AD=8\text{ см}.$$ Пропорциональны только отрезки в пункте в).