Упр.533 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

На диагонали $$AC$$ квадрата $$ABCD$$ взята точка $$M$$ так, что $$AM=AB$$. Через точку $$M$$ проведена прямая, перпендикулярная к прямой $$AC$$ и пересекающая $$BC$$ в точке $$H$$. Докажите, что $$BH=HM=MC$$.
Найдите отношение отрезков $$AB$$ и $$CD$$, если их длины равны соответственно $$15\ \text{см}$$ и $$20\ \text{см}$$. Изменится ли это отношение, если длины отрезков выразить в миллиметрах?

Подробный ответ

Так как $$ABCD$$ — квадрат, то его диагональ $$AC$$ делит прямой угол при вершине $$C$$ пополам. Значит,

$$\angle BCA=45^\circ.$$

По условию $$MH\perp AC$$, поэтому

$$\angle CMH=90^\circ-45^\circ=45^\circ.$$

Следовательно, треугольник $$CMH$$ равнобедренный, и

$$HM=CM.$$

Проведём отрезок $$AH$$. Тогда в треугольниках $$ABH$$ и $$AMH$$:

$$AH$$ — общая сторона;
$$AB=AM$$ по условию;
$$\angle BAH=\angle HAM$$, так как $$AH$$ лежит внутри угла $$BAC$$, а $$\angle BAC=45^\circ$$ и луч $$AH$$ делит соответствующие углы при построении через точку $$M$$.

Значит, треугольники $$ABH$$ и $$AMH$$ равны, откуда

$$BH=HM.$$

Тогда

$$BH=HM=CM.$$