Упр.532 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Диагональ $$AC$$ квадрата $$ABCD$$ равна $$18{,}4$$ см. Прямая, проходящая через точку $$A$$ и перпендикулярная к прямой $$AC$$, пересекает прямые $$BC$$ и $$CD$$ соответственно в точках $$M$$ и $$N$$. Найдите $$MN$$.
В треугольнике $$ABC$$ проведена высота $$BH$$. Докажите, что если:
а) угол $$A$$ острый, то $$BC^2=AB^2+AC^2-2AC\cdot AH$$;
б) угол $$A$$ тупой, то $$BC^2=AB^2+AC^2+2AC\cdot AH$$.

Подробный ответ

Так как $$ABCD$$ — квадрат, то его диагональ $$AC$$ является биссектрисой углов $$A$$ и $$C$$. Поэтому

$$\angle BAC=\angle ACD=45^\circ.$$

Прямая $$l$$ проходит через точку $$A$$ и перпендикулярна $$AC$$, значит

$$\angle CAM=90^\circ,\qquad \angle CAN=90^\circ.$$

Тогда в треугольниках $$AMC$$ и $$ANC$$ углы при вершинах $$C$$ и $$A$$ равны $$45^\circ$$ и $$90^\circ$$, следовательно, оба треугольника равнобедренные прямоугольные. Значит,

$$AM=AC=18{,}4\text{ см},$$

$$AN=AC=18{,}4\text{ см}.$$

Точка $$A$$ лежит между точками $$M$$ и $$N$$, поэтому

$$MN=MA+AN=18{,}4+18{,}4=36{,}8\text{ см}.$$