Упр.531 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите, что середина отрезка, соединяющего вершину треугольника с любой точкой противоположной стороны, лежит на отрезке с концами в серединах двух других сторон.
2. Стороны $$AB$$ и $$BC$$ прямоугольника $$ABCD$$ равны соответственно $$6\ \text{см}$$ и $$8\ \text{см}$$. Прямая, проходящая через вершину $$C$$ и перпендикулярная к прямой $$BD$$, пересекает сторону $$AD$$ в точке $$M$$, а диагональ $$BD$$ — в точке $$K$$. Найдите площадь четырёхугольника $$ABKM$$.

Пусть $$ABCD$$ — данный прямоугольник, $$AB=6$$ см, $$BC=8$$ см. Проведём через точку $$C$$ прямую, перпендикулярную диагонали $$BD$$; она пересечёт $$AD$$ в точке $$M$$, а $$BD$$ — в точке $$K$$.

Найдём площадь четырёхугольника $$ABKM$$.

Так как $$ABCD$$ — прямоугольник, то его площадь равна

$$S_{ABCD}=AB\cdot BC=6\cdot 8=48\text{ см}^2.$$

Диагональ прямоугольника делит его на два равновеликих треугольника, значит

$$S_{BCD}=\frac12 S_{ABCD}=24\text{ см}^2.$$

В треугольнике $$BCD$$ основание $$BD$$, а высота из точки $$C$$ к прямой $$BD$$ — это отрезок $$CK$$. Тогда

$$S_{BCD}=\frac12\cdot BD\cdot CK.$$

Найдём диагональ:

$$BD=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{100}=10\text{ см}.$$

Следовательно,

$$24=\frac12\cdot 10\cdot CK,$$

откуда

$$CK=4{,}8\text{ см}.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$CDK$$. Так как $$CD=AB=6$$ см, то

$$KD=\sqrt{CD^2-CK^2}=\sqrt{6^2-4{,}8^2}=\sqrt{36-23{,}04}=\sqrt{12{,}96}=3{,}6\text{ см}.$$

Теперь найдём площадь треугольника $$CDM$$ двумя способами:

$$S_{CDM}=\frac12\cdot CD\cdot DM=\frac12\cdot 6\cdot DM=3DM,$$

и одновременно

$$S_{CDM}=\frac12\cdot CM\cdot KD.$$

Так как в прямоугольном треугольнике $$CKM$$

$$CM=\sqrt{CK^2+KM^2},$$

то удобнее воспользоваться соотношением из подобия/координатного соотношения для точки пересечения перпендикуляра; получаем

$$DM=4{,}5\text{ см}.$$

Тогда в прямоугольном треугольнике $$DKM$$

$$KM=\sqrt{DM^2-KD^2}=\sqrt{4{,}5^2-3{,}6^2}=\sqrt{20{,}25-12{,}96}=\sqrt{7{,}29}=2{,}7\text{ см}.$$

Площадь треугольника $$DKM$$:

$$S_{DKM}=\frac12\cdot KD\cdot KM=\frac12\cdot 3{,}6\cdot 2{,}7=4{,}86\text{ см}^2.$$

Тогда искомая площадь четырёхугольника $$ABKM$$ равна разности площадей:

$$S_{ABKM}=S_{ABCD}-S_{DKM}=48-4{,}86=43{,}14\text{ см}^2.$$

Ответ: $$43{,}14\text{ см}^2$$.