Упр.530 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите, что точка пересечения диагоналей ромба равноудалена от его сторон.
2. В равнобедренном треугольнике $$ABC$$ с основанием $$BC$$ высота $$AD$$ равна $$8\text{ см}$$. Найдите площадь треугольника $$ABC$$, если медиана $$DM$$ треугольника $$ADC$$ равна $$8\text{ см}$$.

Пусть $$M$$ — середина стороны $$AC$$, так как $$DM$$ — медиана треугольника $$ADC$$. Тогда

$$AM=MC.$$

Из условия $$DM=8\text{ см}$$ и $$AM=8\text{ см}$$, значит

$$AC=AM+MC=8+8=16\text{ см}.$$

Треугольник $$ABC$$ равнобедренный, поэтому высота $$AD$$, проведённая к основанию $$BC$$, является также медианой. Следовательно,

$$BD=DC.$$

В прямоугольном треугольнике $$ADC$$ по теореме Пифагора:

$$DC^2=AC^2-AD^2=16^2-8^2=256-64=192,$$

откуда

$$DC=\sqrt{192}=8\sqrt{3}\text{ см}.$$

Тогда

$$BC=BD+DC=2DC=16\sqrt{3}\text{ см}.$$

Теперь найдём площадь треугольника $$ABC$$:

$$S_{ABC}=\frac12\cdot BC\cdot AD=\frac12\cdot 16\sqrt{3}\cdot 8=64\sqrt{3}\text{ см}^2.$$

Ответ

$$64\sqrt{3}\text{ см}^2$$