Упр.528 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Точки $$M$$ и $$N$$ — середины сторон $$AD$$ и $$BC$$ параллелограмма $$ABCD$$. Докажите, что прямые $$AN$$ и $$MC$$ делят диагональ $$BD$$ на три равные части.
- В трапеции $$ABCD$$ диагонали пересекаются в точке $$O$$. Найдите площадь треугольника $$AOB$$, если боковая сторона $$CD$$ трапеции равна $$12\ \text{см}$$, а расстояние от точки $$O$$ до прямой $$CD$$ равно $$5\ \text{см}$$.
Обозначим через $$H$$ и $$E$$ основания перпендикуляров из точек $$B$$ и $$C$$ на прямую $$AD$$, а через $$F$$ — основание перпендикуляра из точки $$O$$ на прямую $$CD$$.
Тогда $$OF=5\text{ см}$$, $$CD=12\text{ см}$$, поэтому
$$S_{COD}=\frac12\cdot CD\cdot OF=\frac12\cdot 12\cdot 5=30\text{ см}^2.$$
Рассмотрим треугольники $$ABD$$ и $$ACD$$. Их площади выражаются так:
$$S_{ABD}=\frac12\cdot AD\cdot BH,\qquad S_{ACD}=\frac12\cdot AD\cdot CE.$$
Так как $$ABCD$$ — трапеция, то $$BC\parallel AD$$, а значит $$BH=CE$$. Следовательно,
$$S_{ABD}=S_{ACD}.$$
Диагонали трапеции пересекаются в точке $$O$$, поэтому
$$S_{ABD}=S_{AOB}+S_{AOD},\qquad S_{ACD}=S_{COD}+S_{AOD}.$$
Из равенства $$S_{ABD}=S_{ACD}$$ получаем
$$S_{AOB}=S_{COD}.$$
Значит,
$$S_{AOB}=30\text{ см}^2.$$
Ответ: $$30\text{ см}^2$$.
