Упр.527 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Точка К — середина медианы AM треугольника ABC. Прямая ВК пересекает сторону АС в точке D. Докажите, что AD = 1/3АС. В равнобедренной трапеции диагональ равна 10 см, а высота равна 6 см. Найдите площадь трапеции.

Подробный ответ

Пусть в равнобедренной трапеции $$ABCD$$ основания $$AD$$ и $$BC$$, $$BH$$ — высота, $$BH=6$$ см, $$BD=10$$ см.

Проведём из точки $$D$$ перпендикуляр $$DF$$ к прямой $$BC$$. Тогда $$DF=BH=6$$ см, так как расстояние между параллельными прямыми $$AD$$ и $$BC$$ одинаково.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $$ABH$$ и $$CFD$$. В равнобедренной трапеции боковые стороны равны, значит $$AB=CD$$. Кроме того, $$BH=DF$$. Следовательно, $$\triangle ABH \cong \triangle CFD$$ по гипотенузе и катету, откуда $$AH=CF$$.

Четырёхугольник $$BHDF$$ — прямоугольник, поэтому $$HD=BF$$. Тогда в прямоугольных треугольниках $$BDH$$ и $$BDF$$:

$$BD$$ — общая гипотенуза, $$BH=DF$$, значит $$\triangle BDH \cong \triangle BDF$$ по гипотенузе и катету. Отсюда $$HD=BF$$.

Теперь найдём $$HD$$ из прямоугольного треугольника $$BHD$$:

$$ HD=\sqrt{BD^2-BH^2}=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{100-36}=\sqrt{64}=8\text{ см}. $$

Площадь трапеции равна удвоенной площади треугольника $$BHD$$:

$$ S_{ABCD}=2S_{BHD}=2\cdot \frac12 \cdot BH \cdot HD =2\cdot \frac12 \cdot 6 \cdot 8 =48\text{ см}^2. $$