Упр.527 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Точка $$K$$ — середина медианы $$AM$$ треугольника $$ABC$$. Прямая $$BK$$ пересекает сторону $$AC$$ в точке $$D$$. Докажите, что $$AD=\frac{1}{3}AC$$.
2. В равнобедренной трапеции диагональ равна $$10\ \text{см}$$, а высота равна $$6\ \text{см}$$. Найдите площадь трапеции.

Пусть $$ABCD$$ — равнобедренная трапеция, $$AD \parallel BC$$, $$BH$$ — высота, $$BH=6$$ см, $$BD=10$$ см.

Построим $$DF \perp BC$$. Тогда $$BH \perp BC$$ и $$DF \perp BC$$, значит $$BH \parallel DF$$. Кроме того, в равнобедренной трапеции $$AB=CD$$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $$ABH$$ и $$CFD$$. У них:

• $$AB=CD$$;
• $$BH=DF$$;
• $$\angle AHB=\angle CFD=90^\circ$$.

Следовательно, $$\triangle ABH \cong \triangle CFD$$, откуда $$AH=CF$$.

Четырёхугольник $$BHDF$$ — прямоугольник, поэтому $$HD=BF$$. Рассмотрим прямоугольные треугольники $$BDH$$ и $$BDF$$:

• $$BD$$ — общая сторона;
• $$BH=DF$$;
• $$\angle BHD=\angle BFD=90^\circ$$.

Значит, $$\triangle BDH \cong \triangle BDF$$, поэтому $$HD=DF$$.

Найдём $$HD$$ из прямоугольного треугольника $$BDH$$:

$$HD=\sqrt{BD^2-BH^2}=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{100-36}=\sqrt{64}=8 \text{ см}.$$

Тогда $$DF=8$$ см, а из равенства $$AH=CF$$ получаем, что $$AH=CF=8$$ см.

Следовательно,

$$AD=AH+HD=8+8=16 \text{ см},$$
$$BC=BF+FC=8+8=16 \text{ см}.$$

Площадь трапеции:

$$S=\frac{AD+BC}{2}\cdot BH=\frac{16+16}{2}\cdot 6=16\cdot 6=96 \text{ см}^2.$$

Ответ: $$96 \text{ см}^2$$.