Упр.526 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Докажите, что выпуклый четырёхугольник является параллелограммом, если его противоположные углы попарно равны.
В ромбе высота, равная $$\frac{4\sqrt{2}}{6}\,\text{см}$$, составляет $$\frac{2}{3}$$ большей диагонали. Найдите площадь ромба.

Подробный ответ

Пусть $$AC$$ и $$BD$$ — диагонали ромба, $$O$$ — точка их пересечения, $$BH$$ — высота ромба.

По условию

$$BH=\frac{4\sqrt2}{6}=\frac{2\sqrt2}{3}\text{ см}, \qquad BH=\frac23\,AC.$$

Тогда

$$AC=\frac{3}{2}\cdot BH=\frac{3}{2}\cdot \frac{2\sqrt2}{3}=\sqrt2\text{ см}.$$

В ромбе диагонали перпендикулярны и делятся пополам, поэтому

$$AO=\frac{AC}{2}=\frac{\sqrt2}{2}, \qquad DO=\frac{BD}{2}.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$AOD$$. По теореме Пифагора:

$$AD^2=AO^2+DO^2$$
$$AD^2=\left(\frac{\sqrt2}{2}\right)^2+\left(\frac{BD}{2}\right)^2.$$

Так как $$BH$$ — высота ромба, то площадь можно найти по формуле

$$S_{ABCD}=AD\cdot BH.$$

С другой стороны, для ромба

$$S_{ABCD}=\frac12 AC\cdot BD.$$

Из равенства площадей получаем

$$AD\cdot BH=\frac12 AC\cdot BD.$$

Подставим $$BH=\frac23 AC$$:

$$AD\cdot \frac23 AC=\frac12 AC\cdot BD,$$
$$\frac23 AD=\frac12 BD,$$
$$BD=\frac43 AD.$$

Тогда

$$DO=\frac{BD}{2}=\frac23 AD.$$

Теперь из треугольника $$AOD$$:

$$AD^2=\left(\frac{\sqrt2}{2}\right)^2+\left(\frac23 AD\right)^2,$$
$$AD^2=\frac12+\frac49 AD^2,$$
$$\frac59 AD^2=\frac12,$$
$$AD^2=\frac{9}{10}, \qquad AD=\frac{3}{\sqrt{10}}.$$

Найдём площадь:

$$S_{ABCD}=AD\cdot BH=\frac{3}{\sqrt{10}}\cdot \frac{2\sqrt2}{3}=\frac{2\sqrt2}{\sqrt{10}}=\frac{2\sqrt5}{5}\text{ см}^2.$$

Ответ: $$\frac{2\sqrt5}{5}\text{ см}^2$$.