Упр.523 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Через произвольную точку основания равнобедренного треугольника проведены прямые, параллельные боковым сторонам треугольника. Докажите, что периметр получившегося четырёхугольника равен сумме боковых сторон данного треугольника.
2. Два квадрата со стороной $$a$$ имеют одну общую вершину, причём сторона одного из них лежит на диагонали другого. Найдите площадь общей части этих квадратов.

Пусть в равнобедренном треугольнике $$ABC$$ основание — $$AC$$, а через точку $$D\in AC$$ проведены прямые $$DE\parallel BC$$ и $$DF\parallel AB$$, пересекающие стороны $$AB$$ и $$BC$$ в точках $$E$$ и $$F$$ соответственно. Тогда четырёхугольник $$BFDE$$ — параллелограмм, так как $$BF\parallel ED$$ и $$BE\parallel DF$$.

Докажем, что его периметр равен $$AB+BC$$.

Так как $$\triangle ABC$$ равнобедренный, то $$AB=BC$$. Кроме того, из параллельности прямых получаем:

• $$DF\parallel AB$$, значит $$\angle FDC=\angle A$$;
• $$DE\parallel BC$$, значит $$\angle EDA=\angle C$$.

Следовательно, $$\triangle DFC$$ и $$\triangle AED$$ равнобедренные, поэтому

$$FC=FD,\qquad AE=ED.$$

Периметр четырёхугольника $$BFDE$$ равен

$$P_{BFDE}=BF+FD+DE+EB.$$

Так как $$FD=FC$$ и $$DE=AE$$, то

$$P_{BFDE}=BF+FC+AE+EB=(BF+FC)+(AE+EB).$$

Но $$BF+FC=BC$$, а $$AE+EB=AB$$. Значит,

$$P_{BFDE}=BC+AB.$$

Что и требовалось доказать.