Упр.522 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Стороны параллелограмма равны $$10\text{ см}$$ и $$3\text{ см}$$. Биссектрисы двух углов, прилежащих к большей стороне, делят противоположную сторону на три отрезка. Найдите эти отрезки.
- В равнобедренной трапеции $$ABCD$$ с основаниями $$AD=17\text{ см}$$, $$BC=5\text{ см}$$ и боковой стороной $$AB=10\text{ см}$$ через вершину $$B$$ проведена прямая, делящая диагональ $$AC$$ пополам и пересекающая основание $$AD$$ в точке $$M$$. Найдите площадь треугольника $$BDM$$.
Обозначим точки пересечения биссектрис с противоположной стороной через $$E$$ и $$F$$, причём $$E$$ лежит ближе к вершине $$D$$, а $$F$$ — ближе к вершине $$C$$.
Так как $$ABCD$$ — параллелограмм, то $$DC \parallel AB$$ и $$AD \parallel BC$$.
Рассмотрим биссектрису угла $$A$$. Прямая $$AE$$ пересекает параллельную ей сторону $$DC$$, поэтому
$$\angle DAE=\angle AEF$$
как накрест лежащие углы при $$AD \parallel BC$$ и $$AE$$ — биссектриса угла $$A$$. Значит, $$\triangle ADE$$ равнобедренный, и
$$DE=AD=3\text{ см}.$$
Аналогично для биссектрисы угла $$B$$ получаем, что $$\triangle BFC$$ равнобедренный, следовательно
$$FC=CB=3\text{ см}.$$
Тогда весь отрезок $$DC$$ равен стороне параллелограмма:
$$DC=AB=10\text{ см}.$$
Следовательно,
$$EF=DC-DE-FC=10-3-3=4\text{ см}.$$
Ответ: $$DE=3\text{ см},\ EF=4\text{ см},\ FC=3\text{ см}.$$
