Упр.521 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Периметр параллелограмма ABCD равен $$46\text{ см}$$, $$AB=14\text{ см}$$. Какую сторону параллелограмма пересекает биссектриса угла $$A$$? Найдите отрезки, которые образуются при этом пересечении.
2. Докажите, что если диагонали четырёхугольника ABCD взаимно перпендикулярны, то $$AD^2+BC^2=AB^2+CD^2$$.

Пусть биссектриса угла $$A$$ пересекает сторону $$CD$$ в точке $$E$$.

Найдём сначала стороны параллелограмма. Так как его периметр равен $$46$$ см, то

$$P_{ABCD}=2(AB+BC)=46$$

Но в параллелограмме $$BC=AD$$, значит

$$2(AB+AD)=46$$

$$AB+AD=23$$

$$14+AD=23$$

$$AD=9\text{ см}$$

Следовательно, $$BC=9$$ см и $$CD=AB=14$$ см.

Теперь рассмотрим треугольник $$ADE$$. Так как $$AB \parallel CD$$, то угол между $$AE$$ и $$ED$$ равен углу между $$AE$$ и $$AB$$. Поскольку $$AE$$ — биссектриса угла $$A$$, получаем

$$\angle DAE=\angle AED$$

Значит, треугольник $$ADE$$ равнобедренный, и

$$DE=AD=9\text{ см}$$

Тогда

$$EC=CD-DE=14-9=5\text{ см}$$

Ответ: биссектриса угла $$A$$ пересекает сторону $$CD$$; $$DE=9$$ см, $$EC=5$$ см.