Упр.521 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Периметр параллелограмма ABCD равен 46 см, АВ = 14 см. Какую сторону параллелограмма пересекает биссектриса угла А? Найдите отрезки, которые образуются при этом пересечении. Докажите, что если диагонали четырёхугольника ABCD взаимно перпендикулярны, то AD2 + ВС2 = АВ2 + CD2.

Подробный ответ

а) Периметр параллелограмма равен

$$P_{ABCD}=2(AB+AD).$$

По условию $$P_{ABCD}=46\text{ см},\quad AB=14\text{ см}.$$ Тогда

$$46=2(14+AD),$$

$$23=14+AD,$$

$$AD=9\text{ см}.$$

Так как в параллелограмме противоположные стороны равны, то $$CD=AB=14\text{ см}.$$

Биссектриса угла $$A$$ пересекает сторону $$CD$$ в точке $$E$$.

Поскольку $$AB \parallel CD$$, а $$AE$$ — биссектриса угла $$A$$, то

$$\angle 1=\angle 2,$$

а также $$\angle 3=\angle 2$$ как накрест лежащие углы. Следовательно,

$$\angle 3=\angle 1,$$

значит, $$\triangle ADE$$ равнобедренный, и

$$AD=DE=9\text{ см}.$$

Тогда

$$EC=DC-DE=14-9=5\text{ см}.$$

б) Пусть диагонали четырёхугольника $$ABCD$$ взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке $$O$$. Тогда $$AC \perp BD$$, значит, треугольники $$AOB$$, $$BOC$$, $$COD$$ и $$DOA$$ прямоугольные.

По теореме Пифагора:

$$AD^2=AO^2+OD^2,$$

$$BC^2=BO^2+OC^2,$$

$$AB^2=AO^2+BO^2,$$

$$CD^2=OC^2+OD^2.$$

Сложим первые два равенства:

$$AD^2+BC^2=(AO^2+OD^2)+(BO^2+OC^2).$$

Перегруппируем слагаемые:

$$AD^2+BC^2=(AO^2+BO^2)+(OC^2+OD^2)=AB^2+CD^2.$$

Что и требовалось доказать.

Ответ: а) $$CD$$; $$DE=9\text{ см},\ EC=5\text{ см}$$; б) $$AD^2+BC^2=AB^2+CD^2$$.

Оцени решение