Упр.520 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите, что если не все углы выпуклого четырёхугольника равны друг другу, то хотя бы один из них тупой.
2. Диагонали равнобедренной трапеции взаимно перпендикулярны, а сумма оснований равна $$2a$$. Найдите площадь трапеции.

Пусть $$ABCD$$ — выпуклый четырёхугольник. Предположим противное: все его углы острые, то есть

$$\angle A<90^\circ,\quad \angle B<90^\circ,\quad \angle C<90^\circ,\quad \angle D<90^\circ.$$

Тогда

$$\angle A+\angle B+\angle C+\angle D<4\cdot 90^\circ=360^\circ.$$

Но сумма внутренних углов любого выпуклого четырёхугольника равна $$360^\circ$$. Получили противоречие.

Значит, не все углы могут быть острыми, следовательно, хотя бы один угол выпуклого четырёхугольника является тупым.