Упр.519 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Даны точки $$A$$, $$B$$ и $$M$$. Постройте точку, симметричную точке $$M$$ относительно середины отрезка $$AB$$.
2. Найдите площадь равнобедренной трапеции, у которой высота равна $$h$$, а диагонали взаимно перпендикулярны.

Пусть $$ABCD$$ — равнобедренная трапеция, $$AD \parallel BC$$, $$BH \perp AD$$, $$BH=h$$. Проведём через точку $$C$$ прямую, параллельную $$BD$$, и через точку $$D$$ прямую, параллельную $$BC$$. Они пересекутся в точке $$F$$.

Тогда $$BHFD$$ — прямоугольник, так как $$BH \perp AD$$ и $$DF \parallel BC \parallel AD$$, а также $$BF \parallel CD$$.

Рассмотрим треугольники $$ABD$$ и $$ACD$$. У них:

• $$AB=CD$$ — боковые стороны равнобедренной трапеции;
• $$AD$$ — общая сторона;
• $$\angle BAD=\angle CDA$$, так как углы при основании равнобедренной трапеции равны.

Следовательно, $$\triangle ABD \cong \triangle ACD$$ по двум сторонам и углу между ними. Отсюда $$BD=AC$$.

По построению $$HF \parallel AC$$ и $$HF=AC$$, значит $$HF=BD$$. Тогда в четырёхугольнике $$BHDF$$ противоположные стороны попарно равны и параллельны, следовательно, $$BHDF$$ — прямоугольник. Но при этом $$BH \perp HD$$, значит $$BHDF$$ — квадрат.

Значит, его сторона равна $$BH=h$$, а площадь равна

$$S_{BHDF}=h^2.$$

Площадь трапеции $$ABCD$$ равна площади этого квадрата, поэтому

$$S_{ABCD}=h^2.$$

Ответ: $$h^2$$.