Упр.518 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Докажите, что прямая, проходящая через середины противоположных сторон прямоугольника, является его осью симметрии.
Найдите площадь равнобедренной трапеции, если:
а) её меньшее основание равно 18 см, высота — 9 см и острый угол равен 45°;
б) её основания равны 16 см и 30 см, а диагонали взаимно перпендикулярны.

Подробный ответ

а) Обозначим меньшее основание трапеции через $$BC=18$$ см, высоту через $$BH=9$$ см, а острый угол при основании — $$\angle A=45^\circ$$. Опустим из точки $$B$$ перпендикуляр $$BH$$ на основание $$AD$$.

Треугольник $$ABH$$ прямоугольный, причём

$$\angle ABH=90^\circ-45^\circ=45^\circ.$$

Значит, $$\triangle ABH$$ — равнобедренный, поэтому

$$AH=BH=9\text{ см}.$$

Так как трапеция равнобедренная, то $$AB=CD$$ и $$\angle A=\angle D$$. Следовательно, $$\triangle ABH \cong \triangle CFD$$, откуда

$$FD=AH=9\text{ см}.$$

Тогда большее основание

$$AD=AH+BC+FD=9+18+9=36\text{ см}.$$

Площадь трапеции:

$$S=\frac{(BC+AD)}{2}\cdot h=\frac{18+36}{2}\cdot 9=243\text{ см}^2.$$

б) Пусть диагонали равнобедренной трапеции $$AC$$ и $$BD$$ пересекаются в точке $$O$$. Так как трапеция равнобедренная, то $$AB=CD$$ и $$\angle A=\angle D$$.

Рассмотрим треугольники $$\triangle ABD$$ и $$\triangle ACD$$. У них

$$AB=CD,\quad AD\text{ — общая сторона},\quad \angle BAD=\angle CDA.$$

Значит, $$\triangle ABD \cong \triangle ACD$$, поэтому

$$BD=AC.$$

По условию $$AC\perp BD$$, следовательно, в равнобедренной трапеции диагонали взаимно перпендикулярны и делятся точкой пересечения на равные по симметрии части: $$BO=OC$$, $$AO=OD$$.

Обозначим $$BO=OC=x$$, $$AO=OD=y$$. Тогда из прямоугольного треугольника $$BOC$$:

$$BC^2=BO^2+OC^2= x^2+x^2=2x^2,$$

$$16^2=2x^2 \Rightarrow x^2=128 \Rightarrow x=8\sqrt2.$$

Из прямоугольного треугольника $$AOD$$:

$$AD^2=AO^2+OD^2= y^2+y^2=2y^2,$$

$$30^2=2y^2 \Rightarrow y^2=450 \Rightarrow y=15\sqrt2.$$

Тогда площади четырёх прямоугольных треугольников:

$$S_{ABO}=S_{CDO}=\frac12\cdot 8\sqrt2\cdot 15\sqrt2=120\text{ см}^2,$$

$$S_{AOD}=\frac12\cdot 15\sqrt2\cdot 15\sqrt2=225\text{ см}^2,$$

$$S_{BOC}=\frac12\cdot 8\sqrt2\cdot 8\sqrt2=64\text{ см}^2.$$

Следовательно, площадь трапеции равна

$$S=120+120+225+64=529\text{ см}^2.$$