Упр.518 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Докажите, что прямая, проходящая через середины противоположных сторон прямоугольника, является его осью симметрии. Найдите площадь равнобедренной трапеции, если: а) её меньшее основание равно 18 см, высота — 9 см и острый угол равен 45°; б) её основания равны 16 см и 30 см, а диагонали взаимно перпендикулярны.

Подробный ответ

1) Прямая, проходящая через середины противоположных сторон прямоугольника, является осью симметрии.

Пусть в прямоугольнике $$ABCD$$ точки $$E$$ и $$F$$ — середины противоположных сторон $$BC$$ и $$AD$$. Тогда прямая $$EF$$ делит прямоугольник на две равные части: левую и правую. У прямоугольника противоположные стороны равны и параллельны, а все углы равны $$90^\circ$$, поэтому при отражении относительно прямой $$EF$$ одна половина прямоугольника совмещается с другой. Следовательно, $$EF$$ — ось симметрии прямоугольника.

2) Найдём площадь равнобедренной трапеции.

а) Пусть $$ABCD$$ — равнобедренная трапеция, $$BC=18$$ см, высота $$BH=9$$ см, $$\angle A=45^\circ$$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$AHB$$. Так как $$\angle A=45^\circ$$, то

$$\angle ABH=90^\circ-45^\circ=45^\circ,$$

значит, $$\triangle AHB$$ — равнобедренный, и потому

$$AH=BH=9\text{ см}.$$

В равнобедренной трапеции $$AB=CD$$ и $$\angle A=\angle D$$. Тогда прямоугольные треугольники $$\triangle AHB$$ и $$\triangle CFD$$ равны, откуда

$$FD=AH=9\text{ см}.$$

Следовательно,

$$AD=AH+HF+FD=9+18+9=36\text{ см}.$$

Тогда площадь трапеции:

$$ S=\frac{1}{2}(AD+BC)\cdot h =\frac{1}{2}(36+18)\cdot 9 =243\text{ см}^2. $$

б) Пусть основания равнобедренной трапеции равны $$16$$ см и $$30$$ см, а диагонали взаимно перпендикулярны.

Обозначим точку пересечения диагоналей через $$O$$. Так как трапеция равнобедренная, то она симметрична относительно перпендикуляра к основаниям, проходящего через их середины. Поэтому можно считать, что диагонали разбиваются точкой $$O$$ на равные по симметрии части.

Пусть $$BO=OC=x$$. Тогда в прямоугольном треугольнике $$BOC$$ имеем

$$BC^2=BO^2+OC^2=2x^2.$$

Так как $$BC=16$$, то

$$256=2x^2,\quad x^2=128,\quad x=8\sqrt{2}.$$

Аналогично, пусть $$AO=OD=y$$. Тогда в прямоугольном треугольнике $$AOD$$

$$AD^2=AO^2+OD^2=2y^2.$$

Так как $$AD=30$$, то

$$900=2y^2,\quad y^2=450,\quad y=15\sqrt{2}.$$

Площадь трапеции равна сумме площадей четырёх прямоугольных треугольников:

$$S=S_{ABO}+S_{COD}+S_{BOC}+S_{AOD}.$$

Тогда

$$ S_{ABO}=S_{COD}=\frac{1}{2}\cdot 8\sqrt{2}\cdot 15\sqrt{2}=120\text{ см}^2, $$