Упр.517 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Постройте квадрат: а) по стороне; б) по диагонали.
2. Найдите площадь четырёхугольника $$ABCD$$, в котором $$AB = 5\text{ см}$$, $$BC = 13\text{ см}$$, $$CD = 9\text{ см}$$, $$DA = 15\text{ см}$$, $$AC = 12\text{ см}$$.

Разобьём четырёхугольник диагональю $$AC$$ на два треугольника:

$$S_{ABCD}=S_{ABC}+S_{ACD}.$$

Проверим, что треугольник $$ABC$$ прямоугольный:

$$AC^2+AB^2=12^2+5^2=144+25=169=13^2=BC^2.$$

Значит, $$\angle BAC=90^\circ$$, и

$$S_{ABC}=\frac12\cdot AB\cdot AC=\frac12\cdot 5\cdot 12=30\ \text{см}^2.$$

Теперь рассмотрим треугольник $$ACD$$:

$$AC^2+CD^2=12^2+9^2=144+81=225=15^2=AD^2.$$

Следовательно, $$\angle ACD=90^\circ$$, и

$$S_{ACD}=\frac12\cdot AC\cdot CD=\frac12\cdot 12\cdot 9=54\ \text{см}^2.$$

Тогда

$$S_{ABCD}=30+54=84\ \text{см}^2.$$

Ответ: $$84\ \text{см}^2$$.