Упр.517 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Постройте квадрат: а) по стороне; б) по диагонали. Найдите площадь четырёхугольника ABCD, в котором АВ = 5 см, ВС = 13 см, CD = 9 см, DA = 15 см, АС = 12 см.

Разобьём четырёхугольник диагональю $$AC$$ на два треугольника:

$$S_{ABCD}=S_{ABC}+S_{ACD}.$$

Рассмотрим треугольник $$ABC$$. Проверим, прямоугольный ли он:

$$AB^2+AC^2=5^2+12^2=25+144=169=13^2=BC^2.$$

Значит, $$\triangle ABC$$ прямоугольный, $$\angle BAC=90^\circ$$.

Тогда его площадь равна:

$$S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot AC=\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 12=30\ \text{см}^2.$$

Теперь рассмотрим треугольник $$ACD$$:

$$AC^2+CD^2=12^2+9^2=144+81=225=15^2=AD^2.$$

Следовательно, $$\triangle ACD$$ прямоугольный, $$\angle ACD=90^\circ$$.

Его площадь:

$$S_{ACD}=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot CD=\frac{1}{2}\cdot 12\cdot 9=54\ \text{см}^2.$$

Тогда площадь четырёхугольника:

$$S_{ABCD}=30+54=84\ \text{см}^2.$$

Ответ

$$84\ \text{см}^2$$