Упр.516 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Постройте ромб: а) по двум диагоналям; б) по стороне и углу. В треугольнике ABC ВС= 34 см. Перпендикуляр MN, проведённый из середины ВС к прямой АС, делит сторону АС на отрезки AN = 25 см и NC= 15 см. Найдите площадь треугольника ABC.

Подробный ответ

Обозначим через $$H$$ основание перпендикуляра из точки $$B$$ на прямую $$AC$$. Тогда $$BH \perp AC$$.

Так как $$M$$ — середина $$BC$$ и $$MN \perp AC$$, то точки $$H$$ и $$N$$ лежат на одной прямой, перпендикулярной $$AC$$. Следовательно, в прямоугольном треугольнике $$BHC$$ отрезок, соединяющий середину гипотенузы $$BC$$ с прямой, параллельной высоте, даёт

$$HN=NC=15\text{ см}.$$

Тогда

$$AC=AN+NC=25+15=40\text{ см}.$$

Кроме того,

$$HC=HN+NC=15+15=30\text{ см}.$$

В прямоугольном треугольнике $$BHC$$ по теореме Пифагора:

$$BH^2=BC^2-HC^2$$

$$BH^2=34^2-30^2=1156-900=256,$$

откуда

$$BH=16\text{ см}.$$

Теперь найдём площадь треугольника $$ABC$$:

$$S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot AC \cdot BH=\frac{1}{2}\cdot 40\cdot 16=320\text{ см}^2.$$