Упр.516 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Постройте ромб: а) по двум диагоналям; б) по стороне и углу.
2. В треугольнике $$ABC$$ $$BC=34\text{ см}$$. Перпендикуляр $$MN$$, проведённый из середины $$BC$$ к прямой $$AC$$, делит сторону $$AC$$ на отрезки $$AN=25\text{ см}$$ и $$NC=15\text{ см}$$. Найдите площадь треугольника $$ABC$$.

Обозначим через $$H$$ основание перпендикуляра из точки $$B$$ на прямую $$AC$$. Тогда $$BH \perp AC.$$

Так как $$M$$ — середина $$BC$$, а $$MN \perp AC$$, то точки $$M$$ и $$N$$ лежат на прямой, параллельной высоте $$BH$$. Следовательно, в прямоугольном треугольнике $$BHC$$ отрезок, соединяющий середину гипотенузы $$BC$$ с прямой, параллельной катету $$BH$$, даёт $$HN=NC=15\text{ см}.$$

Тогда

$$AC=AN+NC=25+15=40\text{ см}.$$

Кроме того,

$$HC=HN+NC=15+15=30\text{ см}.$$

Найдём высоту $$BH$$ из прямоугольного треугольника $$BHC$$:

$$BH^2=BC^2-HC^2=34^2-30^2=1156-900=256,$$

откуда

$$BH=16\text{ см}.$$

Теперь вычислим площадь треугольника:

$$S_{ABC}=\frac12\cdot AC\cdot BH=\frac12\cdot 40\cdot 16=320\text{ см}^2.$$

Ответ: $$320\text{ см}^2$$.