Упр.515 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Постройте прямоугольник: а) по двум смежным сторонам; б) по стороне и диагонали; в) по диагонали и углу между диагоналями.
- Найдите площадь равнобедренного треугольника, если: а) боковая сторона равна $$20\ \text{см}$$, а угол при основании равен $$30^\circ$$; б) высота, проведённая к боковой стороне, равна $$6\ \text{см}$$ и образует с основанием угол в $$45^\circ$$.
а) Рассмотрим прямоугольный треугольник $$\triangle BMA$$, где $$BM \perp AC$$. Тогда $$\angle A=30^\circ$$, $$AB=20$$ см, значит
$$BM=\frac{AB}{2}=10\text{ см}.$$
Так как $$BM$$ — медиана равнобедренного треугольника, то $$AM=MC$$, следовательно
$$AC=2AM.$$
В прямоугольном треугольнике $$\triangle BMA$$
$$\cos 30^\circ=\frac{AM}{AB},$$
откуда
$$AM=AB\cos 30^\circ=20\cdot \frac{\sqrt3}{2}=10\sqrt3\text{ см}.$$
Тогда
$$AC=2AM=20\sqrt3\text{ см}.$$
Площадь треугольника:
$$S_{ABC}=\frac12\cdot AC\cdot BM=\frac12\cdot 20\sqrt3\cdot 10=100\sqrt3\text{ см}^2.$$
б) Рассмотрим прямоугольный треугольник $$\triangle AHC$$, где $$AH$$ — высота к боковой стороне $$BC$$. По условию $$AH=6$$ см и $$\angle HAC=45^\circ$$, значит
$$\angle C=90^\circ-45^\circ=45^\circ.$$
Следовательно, $$\triangle AHC$$ — равнобедренный прямоугольный, поэтому
$$HC=AH=6\text{ см}.$$
Тогда
$$AC=\sqrt{AH^2+HC^2}=\sqrt{6^2+6^2}=6\sqrt2\text{ см}.$$
Так как $$AB=BC$$, то углы при основании равны: $$\angle A=\angle C=45^\circ$$, значит $$\angle B=90^\circ$$. Следовательно, $$AH$$ совпадает с высотой к основанию и является также медианой, поэтому
$$HC=HB=6\text{ см}, \quad BC=12\text{ см}.$$
Площадь треугольника:
$$S_{ABC}=\frac12\cdot BC\cdot AH=\frac12\cdot 12\cdot 6=36\text{ см}^2.$$
Ответ
а) $$100\sqrt3\text{ см}^2$$; б) $$36\text{ см}^2$$.
