Упр.514 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Даны равнобедренный прямоугольный треугольник $$ABC$$ с прямым углом $$C$$, катетом $$AC=12\text{ см}$$ и квадрат $$CDEF$$, такой, что две его стороны лежат на катетах, а вершина $$E$$ — на гипотенузе треугольника. Найдите периметр квадрата.
2. Площадь ромба равна $$540\text{ см}^2$$, а одна из его диагоналей равна $$4{,}5\text{ дм}$$. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей до стороны ромба.

Пусть $$ABCD$$ — ромб, $$O$$ — точка пересечения его диагоналей, $$BD=4{,}5\text{ дм}=45\text{ см}$$, $$S_{ABCD}=540\text{ см}^2$$.

Найдём вторую диагональ ромба:

$$S_{ABCD}=\frac12 BD\cdot AC$$

$$540=\frac12\cdot 45\cdot AC$$

$$AC=\frac{540\cdot 2}{45}=24\text{ см}$$

Так как диагонали ромба делятся точкой пересечения пополам, то

$$AO=OC=\frac{24}{2}=12\text{ см},\qquad BO=OD=\frac{45}{2}=22{,}5\text{ см}$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$DOC$$. Тогда

$$DC=\sqrt{OD^2+OC^2}=\sqrt{22{,}5^2+12^2}=\sqrt{506{,}25+144}=\sqrt{650{,}25}=25{,}5\text{ см}$$

Площадь треугольника $$DOC$$ можно выразить двумя способами:

$$S_{DOC}=\frac12\cdot OC\cdot OD=\frac12\cdot 12\cdot 22{,}5=135\text{ см}^2$$

и

$$S_{DOC}=\frac12\cdot DC\cdot OH$$

Тогда

$$135=\frac12\cdot 25{,}5\cdot OH$$

$$OH=\frac{270}{25{,}5}=\frac{180}{17}=10\frac{10}{17}\text{ см}$$

Ответ

$$10\frac{10}{17}\text{ см}$$