Упр.513 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. В прямоугольном треугольнике проведена биссектриса прямого угла. Через точку пересечения этой биссектрисы с гипотенузой проведены прямые, параллельные катетам. Докажите, что полученный четырёхугольник — квадрат.
2. Диагонали ромба равны 18 м и 24 м. Найдите периметр ромба и расстояние между параллельными сторонами.

Обозначим точку пересечения биссектрисы прямого угла с гипотенузой через $$D$$. Через точку $$D$$ проведём прямые $$DE \parallel AC$$ и $$DF \parallel BC$$, где $$E \in AB$$, $$F \in AC$$.

Так как $$DE \parallel AC$$ и $$DF \parallel BC$$, то $$CFDE$$ — параллелограмм.

Поскольку треугольник $$ABC$$ прямоугольный, то $$AC \perp BC$$. Тогда из параллельности получаем:

$$DE \perp DF,$$

значит, параллелограмм $$CFDE$$ является прямоугольником.

Теперь рассмотрим угол при вершине $$C$$. Так как $$CD$$ — биссектриса прямого угла, то

$$\angle DCF=\frac{1}{2}\angle C=45^\circ.$$

В прямоугольном треугольнике $$CFD$$ угол $$\angle CFD=90^\circ$$, поэтому

$$\angle CDF=180^\circ-90^\circ-45^\circ=45^\circ.$$

Следовательно, треугольник $$CFD$$ равнобедренный, значит

$$CF=DF.$$

Но в параллелограмме $$CFDE$$ противоположные стороны равны, поэтому

$$CF=DE,\qquad DF=CE.$$

Отсюда

$$CF=DF=DE=CE.$$

Итак, прямоугольник $$CFDE$$ имеет равные смежные стороны, значит он является квадратом.

Ответ

$$CFDE$$ — квадрат.