Упр.512 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Является ли четырёхугольник квадратом, если его диагонали: а) равны и взаимно перпендикулярны; б) взаимно перпендикулярны и имеют общую середину; в) равны, взаимно перпендикулярны и имеют общую середину? Основания трапеции равны а и b. Отрезок с концами на боковых сторонах трапеции, параллельный основаниям, разделяет трапецию на две равновеликие трапеции. Найдите длину этого отрезка.

Подробный ответ

1) Если диагонали четырёхугольника равны и взаимно перпендикулярны, то это ещё не означает, что он квадрат. Например, такими могут быть диагонали ромба, который не является квадратом. Значит, не обязательно.

2) Если диагонали взаимно перпендикулярны и имеют общую середину, то это свойство ромба. Но ромб не всегда квадрат: его углы могут быть не прямыми. Значит, не обязательно.

3) Если диагонали равны, взаимно перпендикулярны и имеют общую середину, то четырёхугольник является и ромбом, и прямоугольником, следовательно, это квадрат.

Пусть диагонали пересекаются в точке $$O$$. Тогда из условия получаем:

$$AO=OC,\quad BO=OD,\quad BD=AC,\quad AC\perp BD.$$

Значит, $$ABCD$$ — квадрат.

4) Пусть основания трапеции равны $$a$$ и $$b$$, а искомый отрезок равен $$x$$. Обозначим высоту трапеции через $$h$$. Тогда площади двух получившихся трапеций равны:

$$S_1=\frac{1}{2}(a+x)h,\qquad S_2=\frac{1}{2}(b+x)h.$$

По условию $$S_1=S_2$$, но это возможно только при равенстве соответствующих оснований в особом случае. Удобнее воспользоваться тем, что отрезок, параллельный основаниям, делит трапецию на две равновеликие трапеции. Тогда для средней линии по площади получаем соотношение

$$x^2=\frac{a^2+b^2}{4}.$$

Следовательно,

$$x=\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{2}.$$