Упр.512 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Является ли четырёхугольник квадратом, если его диагонали: а) равны и взаимно перпендикулярны; б) взаимно перпендикулярны и имеют общую середину; в) равны, взаимно перпендикулярны и имеют общую середину?
- Основания трапеции равны $$a$$ и $$b$$. Отрезок с концами на боковых сторонах трапеции, параллельный основаниям, разделяет трапецию на две равновеликие трапеции. Найдите длину этого отрезка.
Пусть $$MN=x.$$ Обозначим высоту трапеции через $$h.$$ Тогда площади трапеций $$AMND$$ и $$MBCN$$ равны:
$$S_{AMND}=\frac{(b+x)h}{2}, \qquad S_{MBCN}=\frac{(a+x)h}{2}.$$
По условию они равновелики, значит
$$\frac{(b+x)h}{2}=\frac{(a+x)h}{2}.$$
Это возможно только при равенстве оснований, но в задаче требуется найти отрезок, делящий трапецию на две равновеликие трапеции. Тогда используем равенство площадей частей всей трапеции:
$$S_{ABCD}=S_{AMND}+S_{MBCN}.$$
Площадь всей трапеции равна
$$S_{ABCD}=\frac{(a+b)h}{2}.$$
С другой стороны, из подобия треугольников, образованных боковыми сторонами и параллельными основаниями, получаем линейную зависимость длины сечения от расстояния до оснований. Для сечения, делящего площадь пополам, длина отрезка равна среднему геометрическому оснований:
$$x^2=ab.$$
Следовательно,
$$MN=\sqrt{ab}.$$
Ответ: $$\sqrt{ab}$$.
