Упр.511 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите, что ромб, у которого один угол прямой, является квадратом.
2. В трапеции $$ABCD$$ с боковыми сторонами $$AB$$ и $$CD$$ диагонали пересекаются в точке $$O$$.
   а) Сравните площади треугольников $$ABD$$ и $$ACD$$.
   б) Сравните площади треугольников $$ABO$$ и $$CDO$$.
   в) Докажите, что выполняется равенство $$OA \cdot OB = OC \cdot OD$$.

Рассмотрим ромб $$ABCD$$. По определению ромба все его стороны равны:

$$AB=BC=CD=DA.$$

Кроме того, в ромбе противоположные углы равны, а соседние в сумме дают $$180^\circ$$. Так как $$\angle A=90^\circ$$, то

$$\angle B=180^\circ-90^\circ=90^\circ.$$

Значит, у ромба есть прямой угол. Тогда все его углы прямые, то есть $$ABCD$$ — прямоугольник. Но при этом все его стороны равны, следовательно, $$ABCD$$ — квадрат.

Ответ: ромб с прямым углом является квадратом.