Упр.510 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Докажите, что параллелограмм является ромбом, если: а) его диагонали взаимно перпендикулярны; б) диагональ делит его угол пополам. Через точку D, лежащую на стороне ВС треугольника ABC, проведены прямые, параллельные двум другим сторонам и пересекающие стороны АВ и АС соответственно в точках Е и F. Докажите, что треугольники CDE и BDF равновеликие.

Подробный ответ

а) Пусть диагонали параллелограмма $$ABCD$$ пересекаются в точке $$O$$. По свойству параллелограмма диагонали делятся точкой пересечения пополам, значит $$BO=OD$$ и $$AO=OC$$.

Так как по условию $$BD \perp AC$$, то $$\angle BOC=90^\circ$$. Рассмотрим треугольники $$\triangle BOC$$ и $$\triangle COD$$. У них:

$$BO=OD,$$
$$OC$$ — общая сторона,
$$\angle BOC=\angle COD=90^\circ.$$

Следовательно, $$\triangle BOC \cong \triangle COD$$ по двум катетам, откуда $$BC=CD$$.

Но в параллелограмме $$ABCD$$ имеем $$AB=CD$$ и $$BC=AD$$. Тогда

$$AB=BC=CD=AD.$$

Значит, все стороны параллелограмма равны, следовательно, $$ABCD$$ — ромб.

б) Пусть диагональ $$AC$$ делит угол $$A$$ пополам, то есть $$\angle BAC=\angle CAD$$. Тогда в треугольнике $$ABC$$ равны углы при основании, значит он равнобедренный, и

$$BC=AB.$$

Аналогично, если диагональ $$AC$$ делит пополам угол $$C$$, то $$\angle BCA=\angle ACD$$, поэтому треугольник $$ADC$$ равнобедренный и

$$CD=AD.$$

Но $$ABCD$$ — параллелограмм, значит

$$AB=CD,\qquad BC=AD.$$

Из равенств $$BC=AB$$ и $$AB=CD$$ получаем $$BC=CD$$, а вместе с $$BC=AD$$ имеем

$$AB=BC=CD=AD.$$

Следовательно, $$ABCD$$ — ромб.

2. Через точку $$D$$, лежащую на стороне $$BC$$ треугольника $$ABC$$, проведены прямые $$DE \parallel AC$$ и $$DF \parallel AB$$, где $$E \in AB$$, $$F \in AC$$. Докажем, что $$S_{CDE}=S_{BDF}$$.

Так как $$DE \parallel AC$$ и $$DF \parallel AB$$, то четырёхугольник $$AEDF$$ — параллелограмм, а также $$EDCF$$ — параллелограмм. Следовательно,

$$ED=CF,\qquad DF=BE.$$

Треугольники $$CDE$$ и $$BDF$$ имеют равные основания и высоты, соответствующие параллельным сторонам, поэтому их площади равны. Более удобно заметить, что оба треугольника составляют половины равновеликих параллелограммов $$EDCF$$ и $$FDEB$$, а эти параллелограммы имеют общую диагональ и равные площади. Значит,

$$S_{CDE}=S_{BDF}.$$