Упр.510 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Докажите, что параллелограмм является ромбом, если:
а) его диагонали взаимно перпендикулярны;
б) диагональ делит его угол пополам. - Через точку $$D$$, лежащую на стороне $$BC$$ треугольника $$ABC$$, проведены прямые, параллельные двум другим сторонам и пересекающие стороны $$AB$$ и $$AC$$ соответственно в точках $$E$$ и $$F$$. Докажите, что треугольники $$CDE$$ и $$BDF$$ равновеликие.
а) Пусть диагонали параллелограмма $$ABCD$$ пересекаются в точке $$O$$ и $$AC \perp BD$$.
Так как $$ABCD$$ — параллелограмм, то его диагонали делятся точкой пересечения пополам:
$$BO=OD,\qquad AO=OC.$$
Рассмотрим треугольники $$\triangle AOB$$ и $$\triangle COD$$. У них:
- $$AO=OC$$;
- $$BO=OD$$;
- $$\angle AOB=\angle COD=90^\circ$$.
Следовательно, $$\triangle AOB \cong \triangle COD$$ по двум сторонам и углу между ними. Отсюда
$$AB=CD.$$
Но в параллелограмме также $$AB=CD$$ и $$BC=AD$$. Значит, все его стороны равны:
$$AB=BC=CD=DA.$$
Следовательно, $$ABCD$$ — ромб.
б) Пусть диагональ $$AC$$ делит угол $$A$$ пополам, то есть
$$\angle BAC=\angle CAD.$$
Тогда в треугольнике $$ABC$$ равны углы при основании, значит он равнобедренный:
$$BC=AB.$$
Аналогично, если диагональ $$AC$$ делит угол $$C$$ пополам, то
$$\angle BCA=\angle ACD,$$
и треугольник $$ADC$$ равнобедренный, поэтому
$$AD=CD.$$
Но $$ABCD$$ — параллелограмм, значит
$$AB=CD,\qquad BC=AD.$$
Из равенств $$AB=BC$$ и $$AB=CD,\ BC=AD$$ получаем
$$AB=BC=CD=DA.$$
Следовательно, $$ABCD$$ — ромб.
Ответ
а) $$ABCD$$ — ромб; б) $$ABCD$$ — ромб.
