Упр.508 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Найдите периметр ромба ABCD, в котором угол B = 60°, АС= 10,5 см. Докажите, что сумма расстояний от точки на основании равнобедренного треугольника до боковых сторон не зависит от положения этой точки.

Подробный ответ

Пусть $$ABCD$$ — ромб, $$\angle B=60^\circ$$, $$AC=10{,}5\text{ см}$$.

Так как в ромбе все стороны равны, то

$$P_{ABCD}=AB+BC+CD+DA=4AB.$$

Рассмотрим треугольник $$ABC$$. В ромбе $$AB=BC$$, значит, $$\triangle ABC$$ — равнобедренный с основанием $$AC$$. Тогда его углы при основании равны:

$$\angle BAC=\angle BCA.$$

Сумма углов треугольника равна $$180^\circ$$, поэтому

$$\angle B+\angle BAC+\angle BCA=180^\circ,$$

$$60^\circ+2\angle BAC=180^\circ,$$

$$2\angle BAC=120^\circ,$$

$$\angle BAC=60^\circ.$$

Следовательно, $$\angle BCA=60^\circ$$, значит, треугольник $$ABC$$ равносторонний. Тогда

$$AB=BC=AC=10{,}5\text{ см}.$$

Теперь найдём периметр ромба:

$$P_{ABCD}=4\cdot 10{,}5=42\text{ см}.$$

Докажем утверждение о сумме расстояний. Пусть $$M$$ — произвольная точка на основании $$AC$$ равнобедренного треугольника $$ABC$$, а $$MK$$ и $$MN$$ — расстояния от точки $$M$$ до боковых сторон $$AB$$ и $$BC$$ соответственно.

Площадь треугольника $$ABC$$ можно выразить двумя способами:

$$S_{ABC}=S_{ABM}+S_{MBC}.$$

С другой стороны, если обозначить через $$FQ$$ и $$EF$$ расстояния от точки $$M$$ до сторон $$AB$$ и $$BC$$, то

$$S_{ABC}=\frac12\cdot AB\cdot MK+\frac12\cdot BC\cdot MN,$$

а также

$$S_{ABC}=\frac12\cdot BC\cdot FE+\frac12\cdot AB\cdot FQ.$$

Так как $$AB=BC$$, получаем

$$\frac12 AB(MK+MN)=\frac12 AB(FE+FQ),$$

откуда

$$MK+MN=FE+FQ.$$

Значит, сумма расстояний от точки на основании равнобедренного треугольника до его боковых сторон не зависит от положения этой точки.