Упр.508 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Найдите периметр ромба $$ABCD$$, в котором угол $$B=60^\circ$$, $$AC=10{,}5\ \text{см}$$.
2. Докажите, что сумма расстояний от точки на основании равнобедренного треугольника до боковых сторон не зависит от положения этой точки.

Пусть $$ABCD$$ — ромб, $$\angle B=60^\circ$$, $$AC=10{,}5\text{ см}$$.

В ромбе все стороны равны, значит

$$P_{ABCD}=AB+BC+CD+DA=4AB.$$

Рассмотрим треугольник $$ABC$$. Так как $$AB=BC$$, он равнобедренный, поэтому его углы при основании равны:

$$\angle BAC=\angle BCA.$$

Сумма углов треугольника равна $$180^\circ$$, значит

$$\angle B+\angle BAC+\angle BCA=180^\circ,$$

$$60^\circ+2\angle BAC=180^\circ,$$

$$\angle BAC=60^\circ.$$

Тогда $$\angle BCA=60^\circ$$, следовательно, треугольник $$ABC$$ равносторонний. Значит,

$$AB=BC=AC=10{,}5\text{ см}.$$

Тогда периметр ромба:

$$P_{ABCD}=4\cdot 10{,}5=42\text{ см}.$$

Ответ: $$42\text{ см}$$.