Упр.507 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- В ромбе одна из диагоналей равна стороне. Найдите: а) углы ромба; б) углы, которые диагонали ромба образуют с его сторонами.
- Каждая сторона одного треугольника больше любой стороны другого треугольника. Следует ли из этого, что площадь первого треугольника больше площади второго треугольника?
Пусть $$ABCD$$ — ромб, а его диагонали пересекаются в точке $$O$$.
В ромбе все стороны равны, значит $$AB=BC=CD=DA$$. Кроме того, диагонали ромба делят его углы пополам и пересекаются под прямым углом.
По условию одна из диагоналей равна стороне ромба. Тогда в одном из треугольников, образованных диагоналями, получаем равнобедренный треугольник с равными сторонами, а значит соответствующие углы равны. Пусть $$BD=AB$$. Тогда в треугольнике $$ABD$$ имеем
$$AB=BD=AD,$$
следовательно, $$\triangle ABD$$ — равносторонний, и
$$\angle A=\angle ABD=\angle ADB=60^\circ.$$
Так как в ромбе противоположные углы равны, а соседние в сумме дают $$180^\circ$$, то
$$\angle C=\angle A=60^\circ,$$
$$\angle B=\angle D=180^\circ-60^\circ=120^\circ.$$
Теперь найдём углы, которые диагонали образуют со сторонами. Диагональ ромба делит угол пополам, значит
$$\angle BAC=\frac{1}{2}\angle A=\frac{60^\circ}{2}=30^\circ,$$
$$\angle ABD=\frac{1}{2}\angle B=\frac{120^\circ}{2}=60^\circ.$$
Аналогично для второй диагонали получаем такие же значения углов при соответствующих вершинах.
Ответ: $$\angle A=\angle C=60^\circ,$$ $$\angle B=\angle D=120^\circ;$$ углы между диагоналями и сторонами равны $$30^\circ$$ и $$60^\circ$$.
