Упр.505 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Диагонали прямоугольника $$ABCD$$ пересекаются в точке $$O$$. Докажите, что треугольники $$AOD$$ и $$AOB$$ равнобедренные.
2. Докажите, что из всех треугольников, у которых одна сторона равна $$a$$, а другая — $$b$$, наибольшую площадь имеет тот, у которого эти стороны перпендикулярны.

Пусть стороны треугольника равны $$a$$ и $$b$$. Обозначим высоту, опущенную на сторону $$a$$, через $$h$$. Тогда площадь треугольника равна

$$S=\frac12 ah.$$

Так как сторона $$b$$ — гипотенуза прямоугольного треугольника, то высота $$h$$ меньше $$b$$. Значит,

$$S=\frac12 ah<\frac12 ab.$$

Равенство $$S=\frac12 ab$$ достигается тогда и только тогда, когда высота к стороне $$a$$ равна $$b$$, то есть когда стороны $$a$$ и $$b$$ перпендикулярны.

Следовательно, из всех треугольников с данными сторонами $$a$$ и $$b$$ наибольшую площадь имеет тот, у которого эти стороны перпендикулярны.

Ответ: наибольшая площадь у прямоугольного треугольника со сторонами $$a$$ и $$b$$.