Упр.504 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Найдите периметр прямоугольника $$ABCD$$, если биссектриса угла $$A$$ делит сторону: а) $$BC$$ на отрезки $$45{,}6\ \text{см}$$ и $$7{,}85\ \text{см}$$; б) $$DC$$ на отрезки $$2{,}7\ \text{дм}$$ и $$4{,}5\ \text{дм}$$.
Меньшая сторона параллелограмма равна $$29\ \text{см}$$. Перпендикуляр, проведённый из точки пересечения диагоналей к большей стороне, делит её на отрезки, равные $$33\ \text{см}$$ и $$12\ \text{см}$$. Найдите площадь параллелограмма.

Подробный ответ

а) Пусть биссектриса угла $$A$$ пересекает сторону $$BC$$ в точке $$E$$. Тогда

$$BC=BE+EC=45{,}6+7{,}85=53{,}45\text{ см}.$$

Так как $$ABCD$$ — прямоугольник, то $$AD=BC=53{,}45\text{ см}$$.

Прямые $$BC$$ и $$AD$$ параллельны, а $$AE$$ — секущая, поэтому
$$\angle BEA=\angle EAD$$
как накрест лежащие. Следовательно, $$AE$$ — биссектриса угла $$AEB$$, то есть
$$\angle BAE=\angle AEB.$$
Значит, $$\triangle ABE$$ равнобедренный, и
$$AB=BE=45{,}6\text{ см}.$$

Тогда периметр прямоугольника:
$$P_{ABCD}=AB+BC+CD+AD=2(AB+BC)=2(45{,}6+53{,}45)=198{,}1\text{ см}.$$

б) Пусть биссектриса угла $$A$$ пересекает сторону $$CD$$ в точке $$E$$. Тогда

$$CD=CE+ED=2{,}7+4{,}5=7{,}2\text{ дм}.$$

В прямоугольнике $$AB=CD=7{,}2\text{ дм}$$.

Так как $$AB \parallel CD$$, а $$AE$$ — секущая, то
$$\angle AED=\angle EAB$$
как накрест лежащие. Следовательно, $$AE$$ — биссектриса угла $$EAD$$, значит
$$\angle AED=\angle EDA.$$
Тогда $$\triangle ADE$$ равнобедренный, и
$$AD=ED=4{,}5\text{ дм}.$$

Периметр прямоугольника:
$$P_{ABCD}=2(AB+AD)=2(7{,}2+4{,}5)=23{,}4\text{ дм}.$$