Упр.498 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Даны острый угол hk и два отрезка P1Q1 и P2Q2. Постройте параллелограмм ABCD так, чтобы расстояние между параллельными прямыми АВ и DC равнялось P1Q1, AB = P2Q2 и угол A = угол hk. Выясните, является ли треугольник прямоугольным, если его стороны выражаются числами: а) 6, 8, 10; б) 5, 6, 7; в) 9, 12, 15; г) 10, 24, 26; д) 3, 4, 6; е) 11, 9, 13; ж) 15, 20, 25. В каждом случае ответ обоснуйте.

Пусть дана прямая $$a$$ и острый угол $$hk$$. Построим параллелограмм $$ABCD$$ так, чтобы $$\angle A = \angle hk$$, $$AB = P_2Q_2$$, а расстояние между параллельными прямыми $$AB$$ и $$DC$$ было равно $$P_1Q_1$$.

1) Построим прямую $$a$$ и отложим на ней точку $$A$$. На луче, образующем угол $$hk$$ с прямой $$a$$, отложим отрезок $$AB = P_2Q_2$$.

2) Через точку $$A$$ проведём прямую, параллельную одной стороне угла $$hk$$, а через точку $$B$$ — прямую, параллельную другой его стороне. Получим направление стороны $$AD$$ и стороны $$BC$$.

3) Чтобы расстояние между прямыми $$AB$$ и $$DC$$ было равно $$P_1Q_1$$, проведём к прямой $$AB$$ перпендикуляр и отложим на нём отрезок, равный $$P_1Q_1$$. Через полученную точку проведём прямую, параллельную $$AB$$. Это и будет прямая $$DC$$.

4) Точку $$D$$ найдём как пересечение построенной прямой $$DC$$ с прямой, проведённой через $$A$$ параллельно второй стороне угла $$hk$$. Точку $$C$$ получим как пересечение прямой $$DC$$ с прямой, проведённой через $$B$$ параллельно той же стороне.

Соединив точки $$A, B, C, D$$, получим искомый параллелограмм.

Проверим, является ли треугольник прямоугольным. Для этого используем теорему Пифагора: если для наибольшей стороны $$c$$ выполняется $$a^2+b^2=c^2$$, то треугольник прямоугольный.

а) $$6, 8, 10$$

$$6^2+8^2=36+64=100=10^2$$, значит, треугольник прямоугольный.

б) $$5, 6, 7$$

$$5^2+6^2=25+36=61 \ne 49=7^2$$, значит, треугольник не прямоугольный.

в) $$9, 12, 15$$

$$9^2+12^2=81+144=225=15^2$$, значит, треугольник прямоугольный.

г) $$10, 24, 26$$

$$10^2+24^2=100+576=676=26^2$$, значит, треугольник прямоугольный.

д) $$3, 4, 6$$

$$3^2+4^2=9+16=25 \ne 36=6^2$$, значит, треугольник не прямоугольный.

е) $$11, 9, 13$$

$$11^2+9^2=121+81=202 \ne 169=13^2$$, значит, треугольник не прямоугольный.

ж) $$15, 20, 25$$

$$15^2+20^2=225+400=625=25^2$$, значит, треугольник прямоугольный.

Ответ

Параллелограмм строится описанным способом. Прямоугольными являются треугольники в случаях а), в), г), ж); не являются прямоугольными в случаях б), д), е).