Упр.497 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Даны три точки А, B и С, не лежащие на одной прямой. Постройте параллелограмм так, чтобы три его вершины совпадали с данными точками. Сколько таких параллелограммов можно построить?
2. Одна из диагоналей параллелограмма является его высотой. Найдите эту диагональ, если периметр параллелограмма равен 50 см, а разность смежных сторон равна 1 см.

Обозначим стороны параллелограмма через $$a$$ и $$b$$, причём $$a-b=1$$, а периметр равен $$50$$ см. Тогда

$$2(a+b)=50,$$
$$a+b=25.$$

Решим систему:

$$\begin{cases} a+b=25,\\ a-b=1. \end{cases}$$

Складывая уравнения, получаем:

$$2a=26,\quad a=13.$$

Тогда

$$b=25-13=12.$$

Пусть диагональ, являющаяся высотой, опущена на сторону $$b$$. Тогда она перпендикулярна этой стороне, и в прямоугольном треугольнике с гипотенузой $$a$$ и катетом $$b$$ получаем:

$$d^2=a^2-b^2.$$

Подставим значения:

$$d^2=13^2-12^2=169-144=25,$$

$$d=5.$$

Ответ: $$5$$ см.