Упр.492 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Докажите, что трапеция равнобедренная, если: а) углы при основании равны; б) диагонали трапеции равны.
Найдите высоты треугольника со сторонами $$10\ \text{см}$$, $$10\ \text{см}$$ и $$12\ \text{см}$$.

Подробный ответ

а) Пусть в трапеции $$ABCD$$ основания $$AD$$ и $$BC$$, а высоты, опущенные из точек $$B$$ и $$C$$ на основание $$AD$$, равны $$BB_1$$ и $$CC_1$$ соответственно. Тогда $$BB_1=CC_1$$ как высоты трапеции.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $$\triangle ABB_1$$ и $$\triangle DCC_1$$. У них

$$\angle ABB_1=\angle B-90^\circ,$$

$$\angle DCC_1=\angle C-90^\circ.$$

По условию $$\angle B=\angle C$$, значит $$\angle ABB_1=\angle DCC_1$$. Кроме того, $$BB_1=CC_1$$. Следовательно, $$\triangle ABB_1 \cong \triangle DCC_1$$ по двум элементам прямоугольных треугольников.

Отсюда $$AB=CD$$. Значит, трапеция $$ABCD$$ равнобедренная.

б) Пусть снова $$BB_1$$ и $$CC_1$$ — высоты трапеции на основание $$AD$$. Тогда $$BB_1=CC_1$$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $$\triangle ACC_1$$ и $$\triangle DBB_1$$. По условию $$AC=BD$$, а также $$CC_1=BB_1$$. Следовательно, $$\triangle ACC_1 \cong \triangle DBB_1$$ по гипотенузе и катету.

Отсюда $$AC_1=DB_1$$.

Теперь

$$AB_1=AC_1-B_1C_1,$$

$$CD=DB_1-B_1C_1.$$

Так как $$AC_1=DB_1$$, получаем $$AB_1=CD$$. Тогда в прямоугольных треугольниках $$\triangle ABB_1$$ и $$\triangle DCC_1$$ имеем

$$BB_1=CC_1,$$

$$AB_1=DC_1.$$

Следовательно, $$\triangle ABB_1 \cong \triangle DCC_1$$ по двум катетам, откуда $$AB=CD$$.

Итак, трапеция $$ABCD$$ равнобедренная.