Упр.491 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Докажите, что в равнобедренной трапеции: а) углы при каждом основании равны; б) диагонали равны. По данным катетам а и 6 прямоугольного треугольника найдите высоту, проведённую к гипотенузе: а) а = 5, 6=12; б) а = 12, 6 = 16.

Обозначим равнобедренную трапецию $$ABCD$$, где $$BC \parallel AD$$ и $$AB=CD$$.

а) Докажем, что углы при каждом основании равны.

Проведём через точку $$C$$ прямую $$CE \parallel AB$$, где $$E \in AD$$.

Тогда $$BC \parallel AE$$ и $$CE \parallel AB$$, значит, $$ABCE$$ — параллелограмм. Следовательно, $$AE \parallel BC$$ и $$AE=BC$$.

Так как $$AB \parallel CE$$, а $$AD$$ — секущая, то $$\angle 1=\angle 2$$ как соответственные углы.

Кроме того, $$CE=CD$$, значит, $$\triangle CED$$ равнобедренный, поэтому $$\angle 2=\angle 3$$.

Отсюда $$\angle 1=\angle 3$$, то есть $$\angle A=\angle D$$.

Теперь рассмотрим прямые $$BC \parallel AD$$ и секущую $$AB$$. Тогда $$\angle A+\angle B=180^\circ$$.

Аналогично, из $$BC \parallel AD$$ и секущей $$CD$$ получаем $$\angle C+\angle D=180^\circ$$.

Так как $$\angle A=\angle D$$, то $$\angle B=\angle C$$.

Итак, углы при каждом основании равны: $$\angle A=\angle D$$ и $$\angle B=\angle C$$.

б) Докажем, что диагонали равны.

Рассмотрим треугольники $$\triangle ABD$$ и $$\triangle CDA$$.

Имеем:

$$AD$$ — общая сторона,

$$AB=CD$$ по условию,

$$\angle A=\angle D$$, как доказано выше.

Следовательно, $$\triangle ABD \cong \triangle CDA$$ по двум сторонам и углу между ними.

Отсюда соответствующие стороны равны: $$AC=BD$$.

По данным катетам прямоугольного треугольника найдём высоту, проведённую к гипотенузе.

Используем формулу площади:

$$S=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}c\cdot CH,$$

где $$c$$ — гипотенуза, $$CH$$ — искомая высота.

а) $$a=5,\ b=12$$.

Найдём гипотенузу:

$$c=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13.$$

Площадь треугольника:

$$S=\frac{1}{2}\cdot 5 \cdot 12=30.$$

Тогда

$$30=\frac{1}{2}\cdot 13 \cdot CH,$$

откуда

$$CH=\frac{60}{13}=4\frac{8}{13}.$$

б) $$a=12,\ b=16$$.

Найдём гипотенузу:

$$c=\sqrt{12^2+16^2}=\sqrt{144+256}=\sqrt{400}=20.$$

Площадь треугольника:

$$S=\frac{1}{2}\cdot 12 \cdot 16=96.$$

Тогда

$$96=\frac{1}{2}\cdot 20 \cdot CH,$$

откуда

$$CH=\frac{192}{20}=\frac{48}{5}=9{,}6.$$

Ответ

В равнобедренной трапеции $$\angle A=\angle D$$, $$\angle B=\angle C$$, а также $$AC=BD$$.

Высота к гипотенузе: а) $$4\frac{8}{13}$$; б) $$9{,}6$$.