Упр.491 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите, что в равнобедренной трапеции: а) углы при каждом основании равны; б) диагонали равны.
2. По данным катетам $$a$$ и $$b$$ прямоугольного треугольника найдите высоту, проведённую к гипотенузе: а) $$a=5$$, $$b=12$$; б) $$a=12$$, $$b=16$$.

Пусть $$ABCD$$ — равнобедренная трапеция, то есть $$AD \parallel BC$$ и $$AB=CD$$.

а) Докажем, что углы при каждом основании равны

Проведём через точку $$C$$ прямую $$CE \parallel AB$$, где $$E \in AD$$.

Тогда $$BC \parallel AE$$ и $$AB \parallel CE$$, значит, $$ABCE$$ — параллелограмм. Следовательно, $$CE=AB$$.

Но по условию $$AB=CD$$, значит, $$CE=CD$$. Тогда треугольник $$CED$$ равнобедренный, поэтому

$$\angle CED=\angle EDC.$$

Так как $$AB \parallel CE$$, а $$AD$$ — секущая, то

$$\angle A=\angle CED.$$

Так как $$BC \parallel AD$$, а $$CD$$ — секущая, то

$$\angle D=\angle EDC.$$

Следовательно,

$$\angle A=\angle D.$$

Аналогично, из параллельности $$AD \parallel BC$$ и равенства боковых сторон получаем

$$\angle B=\angle C.$$

Итак, углы при каждом основании равны.

б) Докажем, что диагонали равны

Рассмотрим треугольники $$ABD$$ и $$CDA$$.

Имеем:

$$AD$$ — общая сторона,

$$AB=CD$$ по условию,

$$\angle BAD=\angle CDA$$, так как это углы при основании равнобедренной трапеции.

Значит, $$\triangle ABD \cong \triangle CDA$$ по двум сторонам и углу между ними.

Отсюда соответствующие стороны равны:

$$BD=AC.$$

Ответ

$$\angle A=\angle D,\quad \angle B=\angle C,\quad AC=BD.$$