Упр.489 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины её боковых сторон. Докажите свойство средней линии трапеции: средняя линия трапеции параллельна основаниям трапеции и равна их полусумме.
- Докажите, что площадь равностороннего треугольника вычисляется по формуле $$S=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$$, где $$a$$ — сторона треугольника. Найдите площадь равностороннего треугольника, если его сторона равна: а) $$5\ \text{см}$$; б) $$1{,}2\ \text{см}$$; в) $$2\sqrt{2}\ \text{дм}$$.
Рассмотрим равносторонний треугольник $$ABC$$ со стороной $$a$$. Проведём высоту $$BH$$ к стороне $$AC$$. В равностороннем треугольнике высота является также медианой, значит $$AH=\frac{a}{2}$$.
В прямоугольном треугольнике $$ABH$$ по теореме Пифагора:
$$AB^2=BH^2+AH^2$$
Так как $$AB=a$$, то
$$BH^2=a^2-\left(\frac{a}{2}\right)^2=a^2-\frac{a^2}{4}=\frac{3a^2}{4},$$
следовательно,
$$BH=\frac{\sqrt{3}}{2}a.$$
Теперь найдём площадь треугольника:
$$S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot AC \cdot BH=\frac{1}{2}\cdot a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}a=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}.$$
Итак, формула площади равностороннего треугольника:
$$S=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}.$$
Найдём площадь в каждом случае:
а) $$a=5\text{ см}$$:
$$S=\frac{5^2\sqrt{3}}{4}=\frac{25\sqrt{3}}{4}\text{ см}^2;$$
б) $$a=1{,}2\text{ см}$$:
$$S=\frac{1{,}2^2\sqrt{3}}{4}=\frac{1{,}44\sqrt{3}}{4}=0{,}36\sqrt{3}\text{ см}^2;$$
в) $$a=2\sqrt{2}\text{ дм}$$:
$$S=\frac{(2\sqrt{2})^2\sqrt{3}}{4}=\frac{8\sqrt{3}}{4}=2\sqrt{3}\text{ дм}^2.$$
Ответ: $$S=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$$; а) $$\frac{25\sqrt{3}}{4}\text{ см}^2$$; б) $$0{,}36\sqrt{3}\text{ см}^2$$; в) $$2\sqrt{3}\text{ дм}^2$$.
