Упр.488 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Докажите теорему Фалеса: если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки.
- Найдите: а) высоту равностороннего треугольника, если его сторона равна $$6\ \text{см}$$; б) сторону равностороннего треугольника, если его высота равна $$4\ \text{см}$$.
Пусть на прямой $$l_1$$ отложены равные отрезки $$A_1A_2,\ A_2A_3,\ A_3A_4,\dots$$ и через их концы проведены параллельные прямые, пересекающие прямую $$l_2$$ в точках $$B_1,\ B_2,\ B_3,\ B_4,\dots$$ Нужно доказать, что
$$B_1B_2=B_2B_3=B_3B_4=\dots$$
Докажем сначала, что $$B_1B_2=B_2B_3$$.
Рассмотрим два случая.
Если $$l_1 \parallel l_2$$, то четырёхугольники $$A_1B_1B_2A_2$$ и $$A_2B_2B_3A_3$$ — параллелограммы. Поэтому
$$A_1A_2=B_1B_2,\qquad A_2A_3=B_2B_3.$$
Так как по условию $$A_1A_2=A_2A_3$$, то и $$B_1B_2=B_2B_3$$.
Если $$l_1$$ и $$l_2$$ не параллельны, проведём через точку $$B_1$$ прямую $$l$$, параллельную $$l_1$$. Она пересечёт прямые $$A_2B_2$$ и $$A_3B_3$$ в точках $$C$$ и $$D$$.
Тогда по уже доказанному случаю для параллельных прямых получаем:
$$B_1C=CD.$$
Но отрезки $$B_1C$$ и $$CD$$ соответствуют равным отрезкам $$A_1A_2$$ и $$A_2A_3$$, значит, $$B_1B_2=B_2B_3$$.
Аналогично доказывается, что $$B_2B_3=B_3B_4$$, $$B_3B_4=B_4B_5$$ и т. д. Следовательно, все отрезки, отсекаемые на прямой $$l_2$$, равны между собой.
