Упр.486 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите, что середины сторон произвольного четырёхугольника являются вершинами параллелограмма (теорема Вариньона).
2. В прямоугольнике $$ABCD$$ найдите:
   а) $$AD$$, если $$AB=5$$, $$AC=13$$;
   б) $$BC$$, если $$CD=1{,}5$$, $$AC=2{,}5$$;
   в) $$CD$$, если $$BD=17$$, $$BC=15$$.

Рассмотрим треугольник $$ABD$$. Точки $$E$$ и $$H$$ — середины его сторон, так как $$AE=BE$$ и $$AH=HD$$. Тогда по теореме о средней линии треугольника

$$EH \parallel BD,\qquad EH=\frac12 BD.$$

Теперь рассмотрим треугольник $$BCD$$. Точки $$F$$ и $$G$$ — середины его сторон, так как $$BF=FC$$ и $$CG=GD$$. Следовательно,

$$FG \parallel BD,\qquad FG=\frac12 BD.$$

Отсюда получаем, что

$$EH \parallel FG$$

и

$$EH=FG.$$

Если в четырёхугольнике одна пара противоположных сторон одновременно параллельна и равна, то этот четырёхугольник — параллелограмм. Значит, $$EFGH$$ — параллелограмм.

Ответ: $$EFGH$$ — параллелограмм.