Упр.485 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Докажите признак средней линии треугольника. Через середину М стороны АВ треугольника АВС проведена прямая, параллельная стороне ВС. Эта прямая пересекает сторону АС в точке N. Докажите, что MN — средняя линия треугольника АВС.
- Найдите катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла $$60^\circ$$, если гипотенуза равна $$c$$.
Пусть в треугольнике $$ABC$$ точка $$M$$ — середина стороны $$AB$$, а прямая через $$M$$, параллельная $$BC$$, пересекает сторону $$AC$$ в точке $$N$$.
Докажем, что $$N$$ — середина стороны $$AC$$, то есть $$AN=CN$$.
Проведём через точку $$N$$ прямую $$CD$$, параллельную $$AB$$, и обозначим точку пересечения этой прямой с прямой $$MN$$ через $$D$$.
Тогда четырехугольник $$AMDB$$ — параллелограмм, так как
$$BM \parallel CD,\qquad MD \parallel BC,$$
а значит, его противоположные стороны равны:
$$CD=BM.$$
Так как $$M$$ — середина $$AB$$, то
$$AM=BM,$$
следовательно,
$$CD=AM.$$
Рассмотрим треугольники $$AMN$$ и $$CDN$$. Имеем:
$$\angle AMN=\angle CDN$$
как накрест лежащие при $$AB \parallel CD$$ и $$MN \parallel BC$$,
$$\angle ANM=\angle CND$$
как вертикальные,
$$AM=CD.$$
Значит, $$\triangle AMN \cong \triangle CDN$$ по двум углам и стороне между ними. Отсюда
$$AN=CN.$$
Следовательно, точка $$N$$ — середина стороны $$AC$$, а прямая $$MN$$, соединяющая середины сторон $$AB$$ и $$AC$$, является средней линией треугольника $$ABC$$.
Ответ
$$AN=CN$$, значит, $$MN$$ — средняя линия треугольника $$ABC$$.
