Упр.485 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Дано:
AM=BM;
BC || MN;
N принадлежит AC;
Доказать:
AN=CN;
Решение:
1) Отметим точку:
D принадлежит MN, CD || AB || BM;
2) Накрест лежащие углы:
AB || CD, AC, угол MAC=угол DCA;
AB || CD, MD, угол AMD=угол CDN;
3) В параллелограмме AMDB:
BM || CD; MD || BC; CD=BM;
4) Равны по второму признаку:
угол AMN=угол CDN; угол MAN=угол DCN;
CD=BM=AM; треугольник AMN=треугольник CDN;
MN=DN, AN=CN=1/2•AC;
Что и требовалось доказать. Найдите катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла 60°, если гипотенуза равна с.

Пусть $$\triangle ABC$$ — прямоугольный, $$\angle C=90^\circ$$, $$\angle A=60^\circ$$, $$AB=c$$. Тогда

$$\angle B=90^\circ-60^\circ=30^\circ.$$

В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла $$30^\circ$$, равен половине гипотенузы, значит

$$AC=\frac{1}{2}AB=\frac{c}{2}.$$

По теореме Пифагора:

$$BC^2=AB^2-AC^2$$

$$BC^2=c^2-\left(\frac{c}{2}\right)^2=c^2-\frac{c^2}{4}=\frac{3c^2}{4}.$$

Следовательно,

$$BC=\frac{\sqrt{3}}{2}c.$$

Ответ

$$\frac{\sqrt{3}}{2}c$$